La thèse porte sur l’analyse spectrale des opérateurs pseudo-différentiels unidimensionnels et sur certains aspects de l’analyse microlocale analytique. Dans un premier temps, nous nous intéressons à la méthode de Helffer et Sjöstrand basée sur les estimées d’Agmon, donnant un équivalent optimal de la séparation des plus petites valeurs propres des opérateurs de Schrödinger symétriques. Nous étendons leur stratégie à une certaine classe d’opérateurs pseudo-différentiels, apparaissant par exemple après une réduction de dimension micro- locale du laplacien magnétique. La pierre angulaire de la preuve est que, grâce à la phase stationnaire et à l’inégalité de Fefferman-Phong, nous sommes en mesure de montrer que le comportement de ces opérateurs pseudo-différentiels est, en fait, proche de celui des opérateurs de Schrödinger. Dans la deuxième partie, nous plongeons dans la théorie des opérateurs intégraux de Fourier complexes, pour étudier le spectre de Bohr-Sommerfeld d’opérateurs pseudo-différentiels (dans le cas où les courbes d’énergie sont difféomorphes au cercle). Nous montrons qu’il est possible de trouver des quasimodes microlocaux exponentiellement précis (mais sous- optimaux) pour approximer les fonctions propres. Le fait que le développement semi-classique de la condition de quantification de Bohr-Sommerfeld soit donné par un symbole analytique classique avec une précision exponentielle était connu “en principe” par les experts du domaine comme une conséquence d'un travail de Gérard et Sjöstrand sur les résonances. Cependant, en utilisant des quasimodes exponentiellement précis, nous fournissons une preuve assez élémentaire. Dans les chapitres restants, nous mettons en œuvre une forme normale de Darboux-Carathéodory et élargissons les résultats à un cadre non auto-adjoint.

Cette thèse adresse les problématiques posées par les interactions non-linéaires entre les ondes internes et un écoulement turbulent. Nous proposons en particulier des méthodes pour l’estimation de ces ondes et des courants à partir de données altimétriques. Ces méthodes sont principalement déduites de la Proper Orthogonal Decomposition, permettant un couplage statistique de ces deux dynamiques.

Dans cette thèse, on s’intéresse à un produits de matrices indépendantes et de même loi. Étant donnée une suite aléatoire de matrices carrées, à coefficients réels, indépendantes et de même loi, on s’intéresse à la suite formée par les produits de gauche à droite des éléments de cette suite. Sous des hypothèses de forte irréductibilité et de proximalité dont on précisera le sens, on construit à l’aide d’un algorithme déterministe une suite aléatoire d’indices, dits temps pivots, qui sépare la suite de base en blocs dont les produits vérifient de bonnes propriétés d’alignement. On entend par là que la norme matricielle du produits de deux blocs consécutifs est minorée par le produit des normes de chaque blocs et d’une constante non aléatoire. Des propriétés de cette construction, que l’on énoncera plus en détail, on déduit une loi des grands nombre et des inégalités de grandes déviations par em dessous pour le premier trou spectral du produit. On montre aussi l’existence d’une mesure invariante sur l’espace projectif sans hypothèse d’inversibilité ainsi que la convergence exponentielle de toutes les classes projectives des colonnes de la matrice produit vers une limite aléatoire. Sous une hypothèse d’inversibilité, on montre une inégalité de concentration pour la classe projective du produit dont on déduit une loi des grands nombres pour les coefficients et pour le rayon spectral sous l’hypothèse optimale de moment d’ordre 1.

Cette thèse porte sur l’application du Machine Learning à l’étude d’équations différentielles fortement oscillantes. Plus précisément, on s’intéresse à une manière d’approcher de manière précise et avec le moins de calculs possible la solution d’une équation différentielle en s’aidant de réseaux de neurones. Tout d’abord, le cas autonome est étudié, où les propriétés de l’analyse rétrograde et des réseaux de neurones sont utilisés afin d’améliorer des méthodes numériques existantes, puis une généralisation au cas fortement oscillant est proposée afin d’améliorer un schéma numérique d’ordre un spécifique à ce cas de figure. Ensuite, les réseaux de neurones sont utilisés afin de remplacer les calculs préalables nécessaires à l’implémentation de méthodes numériques uniformément précises permettant d’approcher les solutions d’équations fortement oscillantes, que ce soit en partant des travaux mis en œuvre pour le cas autonome, ou bien en utilisant une structure de réseau de neurone intégrant directement la structure de l’équation.

Dans cette thèse, nous établissons rigoureusement des ponts entre les écoulements continument stratifiés et les écoulements multi-couches. Dans une première partie, nous considérons le système de Saint-Venant multi-couches avec un terme supplémentaire diffusif qui a un effet régularisant, dont la motivation provient des travaux des océanographes Gent & McWilliams sur le mélange isopycnal et la diffusivité des tourbillons, et qui pourrait être interprété comme un terme de turbulence. En exploitant la structure de ce système, nous obtenons un dictionnaire qui nous permet d'interpréter ce système multi-couches comme une discrétisation de la formulation en coordonnées isopycnales du système hydrostatique continument stratifié avec le terme diffusif de Gent & McWilliams ajouté de manière similaire. Nous montrons la convergence de la solution discrète vers la solution continue à mesure que le nombre de couches tend vers l'infini, et nous fournissons un taux de convergence explicite. Dans une deuxième partie, dans cette thèse, nous abordons la limite "inverse", nous montrons rigoureusement que, sous certaines conditions d'hyperbolicité et dans un cadre topologique bien choisi, la solution du système continument stratifié converge vers le système de Saint-Venant bi-couches dans la limite de stratification nette.

Dans ce manuscrit, nous étudions différents problèmes de turbulence de couches limites. La première partie décrit un modèle simple de couplage de deux fluides caractérisés par le même problème de Stokes incompressible stationnaire. Le système d'équation est notamment fermé par une condition de continuité à l'interface, qui peut être vu comme une condition limite d'un système caractérisé par une condition de Robin à l'interface. Des algorithmes de décomposition de domaine de type Schwarz permettent d'établir des simulations numériques de ce modèle. Enfin, un modèle plus complexe d'équations de Navier-Stokes stationnaires avec conditions au bord non-linéaires est également étudié et simulé numériquement. Dans une deuxième partie, on analyse des systèmes d'équations elliptiques scalaires à poids, typiques de sous-couches turbulentes. On établit notamment l'existence de solutions faibles et la correspondance avec la théorie de Monin-Obukhov.

Cette thèse achève la classification des sous-schémas en groupes paraboliques des groupes algébriques semi-simples sur un corps algébriquement clos, en particulier de caractéristique deux et trois. Dans un premier temps, nous présentons la classification en supposant que la partie réduite de ces sous-groupes soit maximale, avant de passer au cas général. Nous parvenons à une description quasiment uniforme : à l'exception d'un groupe de type G₂ en caractéristique deux, chaque sous-schémas en groupes parabolique est obtenu en multipliant des paraboliques réduits par des noyaux d'isogénies purement inséparables, puis en prenant l'intersection. En conclusion, nous discutons quelques implications géométriques de cette classification.

Cette thèse porte sur l’étude d’équations aux dérivées partielles dirigées par un opérateur aléatoire singulier. L’objet central de ce travail est l’opérateur d’Anderson, c’est-à-dire l’opérateur de Schrödinger avec comme potentiel un bruit blanc spatial. En utilisant les outils du calcul paracontrôlé et après une procédure de renormalisation, on est à même de définir cet opérateur singulier sur une surface compacte et d’obtenir de bonnes propriétés spectrales, en particulier une compréhension fine de sa fonction de Green est proposée. On peut alors par exemple adapter des méthodes de compacité et de fonctionnelles auto-duales pour étudier l’existence de solutions aux les équations stationnaires dirigées par cet opérateur sur une surface compacte. On s’intéresse également à une version non-locale et quasilinéaire du modèle parabolique d’Anderson sur le tore, en établissant un résultat d’existence locale sous certaines conditions. Une large partie de ce manuscrit est dédiée à la question de la quantification stochastique dans l’environnement singulier régi par l’opérateur d’Anderson. À l’aide de la formule de Boué-Dupuis, on construit une mesure de Gibbs pour l’équation de quantification associée à cet opérateur et on étudie le caractère bien posé de l’équation. On s’intéresse ensuite à une construction dynamique de cette mesure dans le cas de l’équation Φ42 dirigée par l’opérateur d’Anderson, pour obtenir de bonnes propriétés probabilistes sur la solution.

Dans cette thèse trois grands axes ont été étudiés. Le premier concerne le système de Vlasov-Poisson, pour lequel la convergence d'une méthode particulaire a été démontrée. Cette méthode particulaire fait en quelque sorte le lien entre les méthodes semi-lagrangiennes et celle du type PIC. La simplicité de cette méthode réside dans le fait qu'elle se base sur des briques existantes bien connues. Le second axe étudié traite de l'équation de Schrödinger. En se basant sur des travaux récents de Faou, Merle et Raphaël, un algorithme de modulation est proposé pour la simulation numérique de l'oscillateur harmonique. En utilisant le principe de Dirac-Frenkel, cet algorithme a pu être étendu au cas de l'équation de Schrödinger cubique non linéaire. Enfin, le troisième et dernier axe de cette thèse parle du problème de concentration spectrale, aussi appelé problème de Slepian. Des outils ont été mis en place pour étendre les travaux de Landau, Pollak et Slepian, et des soucis importants d'ordre numérique ont été illustrés. Un algorithme est proposé afin de résoudre approximativement le problème de façon plus robuste qu'une discrétisation directe.

Soit Z une surface de type fini et de caractéristique d'Euler strictement négative. Un courant géodésique sur Z est une mesure de Radon, stable par l'action du groupe fondamentale, sur les géodésiques non- orientées et bi-infinies du revêtement universel de Z. Cette notion a été introduite par F.Bonhaon en 1986 et a depuis eu de nombreuses applications à l'étude de la géométrie des surfaces. On s'intéresse ici à deux applications de cette notion: l'étude de la compactification de l'espace de Teichmüller et les problèmes de comptage de courbes. Le premier chapitre de ce manuscrit est dédié aux définitions et propriétés fondamentales nécessaires. Le chapitre 2 traite de la compactification de Thurston de l'espace de Teichmüller, en particulier, on prouve que la méthode de Bonahon par les courants géodésiques peut être adaptée aux surfaces non-compactes d'aire finie. Ce chapitre démontre aussi des résultats sur les suites de géodésiques aléatoires. Les deux chapitres suivant sont dédiés à des problèmes de comptage de géodésiques. Dans le chapitre 3 on montre que l'on peut compter les arcs d'une surface à bords à l'aide de suites convergentes de mesures sur les courants géodésiques. Puis, le chapitre 4 est dédié aux différentes ouvertures qu'offrent ce manuscrit. La principale étant le comptage des orbites pour l'action des sous-groupes du mapping class group sur les courbes.