Cette thèse achève la classification des sous-schémas en groupes paraboliques des groupes algébriques semi-simples sur un corps algébriquement clos, en particulier de caractéristique deux et trois. Dans un premier temps, nous présentons la classification en supposant que la partie réduite de ces sous-groupes soit maximale, avant de passer au cas général. Nous parvenons à une description quasiment uniforme : à l'exception d'un groupe de type G₂ en caractéristique deux, chaque sous-schémas en groupes parabolique est obtenu en multipliant des paraboliques réduits par des noyaux d'isogénies purement inséparables, puis en prenant l'intersection. En conclusion, nous discutons quelques implications géométriques de cette classification.

Cette thèse est dédiée à des méthodes de simulation d'évènements rares et d'estimation de leurs probabilités. Nous nous concentrons sur des méthodes dites "particulaires" qui ont été développées depuis les années 50 : le principe est d'effacer successivement les particules trop éloignées de l'évènement rare étudié, et de les rebrancher sur les particules restantes. La première partie du manuscrit se concentre sur l'établissement d'un lien intrinsèque entre deux méthodes : un algorithme dénoté Sequential Monte Carlo et l'algorithme Adaptive Multi-level Splitting. Ainsi, nous montrons que ce dernier peut-être compris, dans un certain contexte, comme une limite du premier. Pour ce faire, nous détaillons un couplage entre les deux méthodes, avant de montrer la convergence de leurs points de branchement. Une fois cela terminé, cela nous apporte de nouvelles justifications pour prouver certaines propriétés sur les estimateurs, telles que le caractère sans biais. La seconde partie se concentre davantage sur l'algorithme AMS, avec seulement deux particules. Nous l'étudions alors dans un contexte "petit bruit" avec pour objectif de montrer la convergence des points de branchement vers une EDO déterministe. Pour ce faire, nous étudions un processus reconstruit, grâce à des arguments tels que le théorème de Girsanov et la h-transformation de Doob. Nous comparons ensuite l'EDO limite à celle donnée par la théorie de Freidlin-Wentzell qui correspond à la trajectoire "optimale".

L’optimisation convexe est fréquente en apprentissage automatique, statistiques, signal et image. La résolution de problèmes d'optimisation en grande dimension reste difficile en raison de contraintes calculatoires et de stockage. La dernière décennie, les méthodes de ''safe screening'' sont devenues un outil puissant pour réduire la dimension de ces problèmes en se basant sur la connaissance d'une ''safe region'' contenant la solution optimale duale. La première contribution de cette thèse est un cadre mathématique pour créer de nouvelles ''safe region'' tout en démontrant leur supériorité par rapport à l'état de l'art. Notre cadre offre également une manière élégante d’unifier les ''safe regions'' existantes. Cette contribution établit en particulier une base théorique pour les futures avancées dans l’étude des ''safe region''. La seconde contribution est une extension de la méthodologie de ''safe screening'' à des problèmes en dimension infinie. Nous montrons notamment que l’intégration de cette méthode dans un algorithme de l'état de l'art permet de réduire significativement sa complexité numérique tout en préservant sa propriété de convergence. Cette contribution met en évidence le potentiel du ''safe screening'' pour résoudre efficacement les défis calculatoires dans des contextes de dimension infinie.

Dans cette thèse nous étudions un ensemble de techniques relatives à l’application du chiffrement fonctionnel pour la conception de modèles d’apprentissage automatique sur données à caractère confidentiel. Après avoir passé en revu les schémas de chiffrement fonctionnels majeurs de l’état de l’art, nous proposons des combinaisons et des adaptations de schémas existants. Nous portons une attention particulière aux schémas basés sur les problèmes de réseaux LWE et RLWE pour leurs propriétés post-quantiques. A des fins d’expérimentations, nous déroulons des scénarios d’utilisation du chiffrement fonctionnel pour la conception et l’exploitation de modèles de classification sur des données de type images et acoustiques. Nous démontrons ainsi la faisabilité d’application de ce type de construction cryptographique à des cas d’usage industriels. En particulier, nous rapportons des exemples de déchiffrements fonctionnels permettant le calcul d’analyse par composantes principales, d’analyse discriminante linéaire et de transformée de Fourier, ainsi que le calcul de couches neuronales de convolutions linéaires et quadratiques. Enfin, nous proposons un ensemble de méthodes pour la recherche de paramètres de chiffrement fonctionnel maximisant les performances des modèles à apprendre tout en garantissant un niveau de sécurité et une probabilité d’exactitude de déchiffrement.

Cette thèse explore différentes techniques d’assimilation de données pour des modèles océaniques, et en particulier les modèles stochastiques. La méthodologie stochastique utilisée s’appelle l’incertitude de position (LU en anglais) et vise à incorporer un caractère stochastique à des modèles géophysiques via une décomposition de la vitesse en une composante grande échelle lisse en temps, ainsi qu’une composante aléatoire fortement oscillante, modélisée par un processus de Wiener cylindrique. Comme le caractère aléatoire du modèle ainsi que la quantification d’incertitude sont cruciaux pour l’assimilation de données, il est exposé dans cette thèse que le modèle LU comporte des avantages indéniables sur le modèle SQG (Surface Quasi-Geostrophic en anglais). Nous avons dans un premier temps, pour ce modèle SQG, comparé le modèle stochastique aux techniques déterministes d’inflation pour un filtre de Kalman d’ensemble "square-root" localisé. Nous avons obtenu, dans cette première étude, une validation numérique que l’inflation peut être difficile à régler et peut mener à une divergence du filtre en temps fini, et que le modèle stochastique donne de meilleurs performances que les modèles déterministes avec inflation en terme d’erreurs et de qualité de variance d’ensemble. Une deuxième étude a consisté à la proposition d’une procédure de calibration du bruit stochastique, visant à guider l’essaim de trajectoires vers une région d’intérêt, proche des observations. Cette procédure s’appuie sur le caractère stochastique inhérent de LU et se base sur les transformations de Girsanov. L’ajout de ce terme de guidage a mené à une amélioration significative des résultats dans le cas d’une mauvaise estimation de la condition initiale. La dernière partie de cette thèse étudie la prédiction d’ensemble sous le point de vue des espaces de Hilbert à noyau auto-repoduisant (RKHS en anglais). Dans ce contexte, l’opérateur de Koopman associé à la dynamique et son adjoint sont tous deux unitaires et uniformément continus, ce qui conduit à l’énoncé d’un théorème spectral adapté aux RKHS. Des méthodes d’assimilation de données sont conçues pour prendre en compte la structure et les propriétés des RKHS, qui justifient notamment un principe de superposition qui est largement utilisé, bien que sujet à caution, pour les filtres de Kalman d’ensemble.

Cette thèse contient deux parties. La partie I étudie une classe spécifique d'équations différentielles non linéaires oscillantes dans des espaces de dimension finie. Sous des conditions d'intégrabilité, une procédure de « blow-up » et une approximation WKB (de type sur-critique) conduisent à de l'existence en temps longs, à des développements asymptotiques avec une forme forte de stabilité, ainsi qu'à des modèles réduits. En exploitant des conditions de transparence et le théorème d'inversion globale de Hadamard, les résultats sont ensuite appliqués à l'étude d'une classe d'équations de Hamilton-Jacobi oscillantes. Ils sont aussi utilisés pour décrire les caractéristiques de l'équation de Vlasov en présence d'un champ électromagnétique fixe (E,B) tel que E pas égal à zéro et |B| est très grand. La partie II explore la transition de la dynamique quantique vers la dynamique classique des interactions particule-champ. Nous obtenons: le caractère globalement bien-posé en temps du système particule-champ et la validation du principe de correspondance de Bohr du modèle de Nelson. Ensuite, nous étudions la construction de solutions globales de faible régularité pour des problèmes de valeur initiale abstraits dans des espaces de dimension infinie. Nous utilisons des techniques de la théorie de la mesure, une représentation probabiliste et des arguments projectifs pour montrer l'existence de solutions globales pour presque toutes les données initiales. Ceci est appliqué pour construire des solutions globales pour des EDPs non linéaires comme les équations de Hartree, Klein-Gordon, NLS, Euler et mSQG.

L'objectif de cette thèse est d'obtenir une meilleure compréhension du comportement des taux de croissance exponentiels au sein de la classe des groupes qui agissent de manière acylindrique dans un espace hyperbolique au sens de Gromov. Pour ce faire, nous aborderons deux problèmes de nature différente. Dans le premier problème, nous étudierons les taux de croissance exponentiels des sous-groupes quasi-convexes. Nous comparerons ces taux avec celui du groupe ambiant et nous déterminerons quand il est possible d'obtenir une égalité/inégalité stricte. Pour ce faire, nous allons exploiter des actions propres sur des espaces métriques, a priori, non hyperboliques, mais dont les isométries se comportent comme les isométries loxodromiques d'un espace hyperbolique. Le deuxième problème tourne autour de la croissance exponentielle uniforme uniforme. Nous prouverons que cette propriété est préservée si nous prenons des quotients à petite simplification de groupes qui agissent de manière acylindrique sur un espace hyperbolique. En corollaire, nous obtiendrons qu'il existe une borne inférieure universelle sur le taux de croissance exponentielle uniforme pour la famille des quotients à petite simplification classique. Cette borne ne dépend que d'un des deux paramètres d'acylindricité.

Une surface affine (sur un corps algébriquement clos) est une variété de dimension 2 définie par des équations polynomiales. Lorsqu’on se donne un endomorphisme d’une telle surface, on peut se poser les questions naturelles suivantes : y’a-t-il des orbites Zariski-denses ? Si l’orbite d’un point part à l’infini, peut-on contrôler sa vitesse de fuite ? Y’a-t-il beaucoup d’orbites périodiques ? Peut-on exhiber une mesure de probabilité invariante intéressante par le système dynamique ? Pour répondre à ces questions, j’utilise des techniques valuatives. Plus précisément un endomorphisme f d’une surface affine S induit une transformation de l’espace des valuations centrées à l’infini de S. L’étude de la dynamique de f sur cet espace de valuations permet de comprendre la dynamique de f sur S.

Cette thèse concerne la stabilité d’ondes contenant une discontinuité. Plus précisément, le problème est de comprendre quels sont les chocs qui sont orbitalement stables en temps long dans des topologies encodant de la régularité par morceaux. Ce travail suit le cadre d’existence et stabilité en temps court de perturbations de chocs de référence fourni par des résultats récents. De plus, le problème de l’approximation visqueuse de telles ondes est également considérée, et est le point principal considéré ici. Dans le premier chapitre, la stabilité et l’instabilité d’ondes discontinues dans des problèmes de combustion. Les problèmes sont hyperboliques, et considérées dans des espaces à poids. Le deuxième chapitre et le troisième chapitre sont centrés sur la stabilité asymptotique orbitale d’approximations visqueuses de chocs, dans un cadre scalaire. Le premier cas traité est celui d’un choc de Riemann dont le linéarisé a un spectre qui contient un trou spectral. Le second cas est associé à un choc de Riemann spectralement instable, qui est stabilisé au niveau spectral par l’introduction de poids. Un front lisse au niveau hyperbolique est également étudié de cette façon.

Notre objectif est de concevoir un système de reconnaissance et de segmentation d'écriture manuscrite d'enfants dans le but d'analyser précisément l'écriture afin de faire des retours orthographiques immédiats à l'enfant. Les contributions de cette thèse reposent sur l'hybridation de modèles d'apprentissage profond avec des modèles utilisant des connaissances expertes explicites. La première contribution consiste à intégrer la dynamique de l'écriture contenue dans le signal en ligne dans un réseau de neurones convolutifs pour faire de la reconnaissance de caractères. La seconde contribution porte sur l'amélioration d'un système existant d'analyse de mots. Ce système utilise un mécanisme de guidage par la consigne ainsi que les mots phonétiquement proches de la consigne pour aiguiller son analyse. Le principe est d'intégrer la prédiction d'un modèle de reconnaissance Seq2Seq dans le système de guidage. L'objectif est de palier les manques du mécanisme de guidage quand les mots d'entrée contiennent des erreurs non-phonétiques. La troisième contribution propose un nouveau système de reconnaissance et de segmentation. Il repose sur la combinaison d'un modèle dédié à la reconnaissance et d'un modèle dédié à la segmentation. Le système intègre également les connaissances contenues dans le signal en ligne afin d'améliorer la précision de la segmentation. Enfin, nous avons développé un mécanisme de rejet dans le but d'améliorer la qualité du retour effectué à l'enfant. Les résultats des expérimentations démontrent l'intérêt et l'efficacité de ces contributions.