Cette thèse est consacrée a l’étude des bornes inférieures sur le genre des courbes hyperelliptiques sur un corps fini. Plus précisément, étant donné un entier N, nous demandons: quel est le nombre minimum G tel que pour tout g plus grand que G il existe une courbe hyperelliptique de genre g ayant exactement N points rationnels? La première partie du manuscrit traite des courbes sans points rationnels, c’est-à-dire lorsque N est égal à zéro. En utilisant certaines constructions explicites, nous établissons pour chaque caractéristique une nouvelle borne qui dépend linéairement de la taille du corps fini. Dans la deuxième partie, on considère le cas général. Ici, lorsque la caractéristique est impaire et que N est strictement positif, une nouvelle borne quasi-linéaire sur les genres est obtenue à l’aide de constructions implicites. La troisième partie complète les résultats théoriques ci-dessus. Nous proposons une nouvelle approche de la recherche informatique des courbes hyperelliptiques sur les petits corps finis de caractéristique impaire en exploitant la machinerie des codes linéaires binaires. Cette thèse a été réalisée sous la direction du Professeur Alexey Zykin à l’Université de Polynésie française (2015—2019) et la codirection du Professeur Michael A. Tsfasman (Institute for Information Transmission Problems, Moscou).