Le schéma des arcs, introduit par Nash et étudié notamment par Kontsevich, joue un rôle central dans l’analyse des singularités. Dans cette thèse nous étudions les liens entre les opérateurs différentiels sur une variété algébrique affine X et les espaces de jets et d’arcs associés à cette variété. Le premier chapitre présente les dérivations au sens de Nakai, les dérivations de Hasse-Schmidt, ainsi que leurs notions duales : le module des différentielles de Kähler et les espaces de jets/arcs. Le second chapitre introduit une graduation sur l’espace des arcs O(L∞(X))$ et étudie, pour tout entier n ⩾ 0, un morphisme entre le module des différentielles d’ordre n et le module des fonctions de poids n. Nous montrons que ce morphisme est bijectif quand n ⩽ 2, ce qui constitue le résultat principal de cette thèse. Pour n ⩾ 3 nous prouvons que ce morphisme admet localement des rétractions quand X est lisse. Le troisième chapitre applique ce résultat à l’ordre 2, nous établissons un critère de normalité via les fonctions nilpotentes de poids 2, puis nous donnons une nouvelle preuve de la conjecture de Nakai pour les courbes affines planes. Ces résultats apportent un éclairage nouveau sur l’interaction entre opérateurs différentiels et l'étude des singularités.