Tri :
Date
Titre
Auteur
|
|
Mathématiques et applications
/ 05-07-2016
Éon Richard
Voir le résumé
Voir le résumé
Cette thèse porte sur l'étude d'équations différentielles de type frottement, c'est à dire d'équations de type attractive, avec un unique point stable 0, caractérisant la vitesse d'un objet soumis à une force de frottement. La vitesse de cet objet subit des perturbations aléatoires de type Lévy. Dans une première partie, nous nous intéressons aux propriétés fondamentales de ces EDS : existence et unicité de la solution, caractère markovien et ergodique de celle-ci et plus particulièrement le cas des processus de Lévy stable.
Dans un deuxième partie, nous étudions la stabilité de la solution de ces EDS lorsque la perturbation est un processus de Lévy stable qui tend vers 0. En effet, nous démontrons l'existence d'un développement limité d'ordre un autour de la solution déterministe pour la vitesse et la position de l'objet.
Dans une troisième partie, nous étudions le comportement asymptotique des solutions lorsque la vitesse initiale est nulle et que la perturbation est un processus de Lévy stable symétrique. Nous prouvons dans cette partie que l'accumulation de perturbations entraîne un comportement asymptotique gaussien de la position de l'objet, à condition que l'indice de stabilité du processus de Lévy et la croissance du potentiel soient suffisamment grand.
Dans une quatrième partie, nous levons l'hypothèse de symétrie de la perturbation en démontrant le même résultat que dans la troisième partie mais avec une dérive. Pour cela, nous étudions tout d'abord la queue de distribution de la mesure invariante associée à la vitesse de l'objet.
Enfin dans une dernière partie, nous nous intéressons au résultat de la troisième partie lorsque la perturbation est la somme d'un mouvement brownien et d'un processus de Lévy purement à sauts. Puis nous commençons l'étude de la dimension deux en traitant le cas où les équations sont découplées mais où les mouvement brownien directeurs sont dépendants.
|
|
Mathématiques et applications
/ 11-07-2016
Vital Clément
Voir le résumé
Voir le résumé
Le but de cette thèse était d'explorer la thématique du scoring dans le cadre de son utilisation dans le monde bancaire, et plus particulièrement pour contrôler le risque de crédit. En effet, la diversification et la globalisation des activités bancaires dans la deuxième moitié du XXe siècle ont conduit à l'instauration d'un certain nombre de régulations, afin de pouvoir s'assurer que les établissements bancaires disposent de capitaux nécessaires à couvrir le risque qu'ils prennent. Cette régulation impose ainsi la modélisation de certains indicateurs de risque, dont la probabilité de défaut, qui est pour un prêt en particulier la probabilité que le client se retrouve dans l'impossibilité de rembourser la somme qu'il doit. La modélisation de cet indicateur passe par la définition d'une variable d'intérêt appelée critère de risque, dénotant les "bons payeurs" et les "mauvais payeurs". Retranscrit dans un cadre statistique plus formel, cela signifie que nous cherchons à modéliser une variable à valeurs dans {0,1} par un ensemble de variables explicatives. Cette problématique est en pratique traitée comme une question de scoring. Le scoring consiste en la définition de fonction, appelées fonctions de score, qui retransmettent l'information contenue dans l'ensemble des variables explicatives dans une note de score réelle. L'objectif d'une telle fonction sera de donner sur les individus le même ordonnancement que la probabilité a posteriori du modèle, de manière à ce que les individus ayant une forte probabilité d'être "bons" aient une note élevée, et inversement que les individus ayant une forte probabilité d'être "mauvais" (et donc un risque fort pour la banque) aient une note faible. Des critères de performance tels que la courbe ROC et l'AUC ont été définis, permettant de quantifier à quel point l'ordonnancement produit par la fonction de score est pertinent. La méthode de référence pour obtenir des fonctions de score est la régression logistique, que nous présentons ici. Une problématique majeure dans le scoring pour le risque de crédit est celle de la sélection de variables. En effet, les banques disposent de larges bases de données recensant toutes les informations dont elles disposent sur leurs clients, aussi bien sociodémographiques que comportementales, et toutes ne permettent pas d'expliquer le critère de risque. Afin d'aborder ce sujet, nous avons choisi de considérer la technique du Lasso, reposant sur l'application d'une contrainte sur les coefficients, de manière à fixer les valeurs des coefficients les moins significatifs à zéro. Nous avons envisagé cette méthode dans le cadre des régressions linéaires et logistiques, ainsi qu'une extension appelée Group Lasso, permettant de considérer les variables explicatives par groupes. Nous avons ensuite considéré le cas où la variable réponse n'est plus binaire, mais polytomique, c'est-à-dire avec plusieurs niveaux de réponse possibles. La première étape a été de présenter une définition du scoring équivalente à celle présentée précédemment dans le cas binaire. Nous avons ensuite présenté différentes méthodes de régression adaptées à ce nouveau cas d'étude : une généralisation de la régression logistique binaire, des méthodes semi-paramétriques, ainsi qu'une application à la régression logistique polytomique du principe du Lasso. Enfin, le dernier chapitre est consacré à l'application de certaines des méthodes évoquées dans le manuscrit sur des jeux de données réelles, permettant de les confronter aux besoins réels de l'entreprise.
|
|
Mathématiques et applications
/ 31-08-2016
Girand Arnaud
Voir le résumé
Voir le résumé
Une déformation isomonodromique d'une sphère épointée est une famille de connexions logarithmiques plates sur cette dernière ayant toutes, à conjugaison globale près, la même représentation de monodromie. Ces objets sont paramétrés par les solutions d'une certaine famille d'équations aux dérivées partielles, les systèmes de Garnier, qui sont équivalents dans le cas de la sphère à quatre trous aux équations de Painlevé VI. L'objet des travaux présentés ici est de construire de nouvelles solutions algébriques des ces systèmes dans le cas de la sphère à cinq trous. Dans une première partie, nous classifions les déformations isomonodromiques algébriques obtenues par restriction aux droites d'une connexion logarithmique plate sur le plan projectif complexe dont le lieu polaire est une courbe quintique. On obtient ainsi deux nouvelles familles de solutions algébriques du système de Garnier associé. Dans une deuxième partie, nous exploitons le fait qu'une déformation isomonodromique algébrique correspond à une orbite finie sous l'action du groupe modulaire sur la variété des caractères de la sphère à cinq trous pour obtenir de nouveaux exemples de telles orbites. Nous employons pour ce faire la convolution intermédiaire sur les représentations de groupes libres développée par Katz Enfin, nous décrivons une généralisation partielle de ce procédé au cas d'un tore complexe à deux trous.
|
|
Mathématiques et applications
/ 26-09-2016
Miqueu Jean-Philippe
Voir le résumé
Voir le résumé
Cette thèse concerne l'étude spectrale de l'opérateur de Schrödinger avec champ magnétique et paramètre semi-classique, sur un domaine borné et régulier en dimension 2, avec condition de Neumann au bord. On s'intéresse plus particulièrement au cas où le champ magnétique s'annule sur une union de courbes régulières. L'objectif est de comprendre l'influence d'une annulation du champ et d'expliciter le comportement des basses valeurs propres et des fonctions propres associées lorsque le paramètre semi-classique tend vers 0. Dans cette limite - dite semi-classique - la description précise des éléments propres passe par la compréhension de différents opérateurs modèles sous-jacents. La première partie est consacrée au cas d'un champ magnétique qui s'annule de manière non dégénérée le long d'une courbe régulière simple intersectant le bord du domaine. La deuxième partie concerne le cas d'une annulation quadratique à l'intérieur du domaine. Dans de ces deux cas d'étude, on donne dans un premier temps un équivalent asymptotique de la première valeur propre. La majoration s'obtient par une construction de fonctions tests appropriées tandis que la minoration s'obtient par une méthode de localisation quantique. Ce dernier aspect est délicat car il s'agit de gérer la transition entre des modèles ayant des homogénéités différentes. Dans un second temps, on examine les propriétés de localisation des premières fonctions propres, via des estimées d'Agmon semi-classiques. Ceci permet d'obtenir un développement asymptotique complet des premières valeurs propres, à n'importe quel ordre. Dans le cas d'une annulation quadratique, la thèse est complétée par une étude de l'opérateur modèle pour lequel le lieu d'annulation est une union de deux droites sécantes faisant un angle non nul. Dans la limite petit angle, la structure du spectre est gouvernée un symbole opérateur à deux paramètres. On établit différentes propriétés de ce symbole opérateur et de la fonction de bande associée. Des simulations numériques basées sur la librairie éléments finis Mélina++ ont guidé l'analyse et illustrent les résultats obtenus. Les difficultés numériques - dues aux fortes oscillations de la phase dans l'expression des fonctions propres - sont gérées grâce à une interpolation polynomiale de haut degré.
|
|
Traitement du signal et télécommunications
/ 05-10-2016
Lepoutre Alexandre
Voir le résumé
Voir le résumé
Cette thèse s'intéresse à l'étude et au développement de méthodes de pistage mono et multicible en contexte Track-Before-Detect (TBD) par filtrage particulaire. Contrairement à l'approche classique qui effectue un seuillage préalable sur les données avant le pistage, l'approche TBD considère directement les données brutes afin de réaliser conjointement la détection et le pistage des différentes cibles. Il existe plusieurs solutions à ce problème, néanmoins cette thèse se restreint au cadre bayésien des Modèles de Markov Cachés pour lesquels le problème TBD peut être résolu à l'aide d'approximations particulaires. Dans un premier temps, nous nous intéressons à des méthodes particulaires monocibles existantes pour lesquels nous proposons différentes lois instrumentales permettant l'amélioration des performances en détection et estimation. Puis nous proposons une approche alternative du problème monocible fondée sur les temps d'apparition et de disparition de la cible; cette approche permet notamment un gain significatif au niveau du temps de calcul. Dans un second temps, nous nous intéressons au calcul de la vraisemblance en TBD -- nécessaire au bon fonctionnement des filtres particulaires -- rendu difficile par la présence des paramètres d'amplitudes des cibles qui sont inconnus et fluctuants au cours du temps. En particulier, nous étendons les travaux de Rutten et al. pour le calcul de la vraisemblance au modèle de fluctuations Swerling et au cas multicible. Enfin, nous traitons le problème multicible en contexte TBD. Nous montrons qu'en tenant compte de la structure particulière de la vraisemblance quand les cibles sont éloignées, il est possible de développer une solution multicible permettant d'utiliser, dans cette situation, un seule filtre par cible. Nous développons également un filtre TBD multicible complet permettant l'apparition et la disparition des cibles ainsi que les croisements.
|
|
Mathématiques et applications
/ 05-10-2016
Hivert Hélène
Voir le résumé
Voir le résumé
L'objet de cette thèse est la construction de schémas numériques pour les équations cinétiques dans différents régimes de diffusion anormale. Comme le modèle devient raide en s'approchant du modèle asymptotique, les méthodes numériques standard deviennent coûteuses dans ce régime. Les schémas Asymptotic Preserving ont été introduits pour pallier à cette difficulté. Ils sont en effet stables le long de la transition du régime mésoscopique au régime microscopique. Dans le premier chapitre, nous considérons le cas d'une distribution d'équilibre qui est une fonction à queue lourde et dont le moment d'ordre 2 est infini. Le poids important des grandes vitesses de l'équilibre fait tomber la limite de diffusion usuelle en défaut, et on montre que le modèle asymptotique est une équation de diffusion fractionnaire. En nous basant sur une analyse asymptotique formelle de la convergence vers le modèle limite, nous construisons trois schémas AP pour le problème. La discrétisation en vitesse est discutée afin de prendre en compte correctement les grandes vitesses, et nous montrons que le troisième schéma est en outre uniformément précis au cours de la transition vers le régime microscopique. Dans le chapitre 2, nous étendons ces résultats au cas d'une fréquence de collision dégénérée en 0 qui mène aussi à une équation de diffusion fractionnaire. Nous adaptons ensuite ces méthodes numériques au cas d'une limite de diffusion normale avec scaling en temps anormal dans l'équation cinétique dans le chapitre 3. Dans ce cadre, la lenteur de la convergence vers le modèle asymptotique rend nécessaire une adaptation de l'approche AP des chapitres précédents. Enfin, le chapitre 4 présente un schéma AP pour l'équation cinétique dans le cas heavy-tail du chapitre 1 lorsque l'opérateur de collision est non-local.
|
|
Mathématiques et applications
/ 29-11-2016
Rouby Ophélie
Voir le résumé
Voir le résumé
On s'intéresse à la théorie spectrale d'opérateurs semi-classiques non auto-adjoints en dimension un et plus précisément aux développements asymptotiques des valeurs propres. Ces derniers font intervenir des objets géométriques issus de la mécanique classique dans l'espace des phases complexifié et correspondent à une généralisation des conditions de quantification de Bohr-Sommerfeld au cadre non auto-adjoint. Plus précisément, dans un premier temps, on étudie le spectre de perturbations non auto-adjointes d'opérateurs pseudo-différentiels auto-adjoints en dimension un à l'aide de techniques d'analyse microlocale analytique et en corollaire, on établit que pour des perturbations PT-symétriques d'opérateurs auto-adjoints, le spectre est réel. Ensuite, on présente des conditions de quantification de Bohr-Sommerfeld pour des perturbations non auto-adjointes d'opérateurs de Berezin-Toeplitz du plan complexe auto-adjoints. Dans un second temps, on s'intéresse aux différentes quantifications du tore et plus précisément à la quantification de Berezin-Toeplitz du tore, à la quantification de Weyl classique du tore et à la quantification de Weyl complexe du tore. On établit des liens entre ces différentes quantifications notamment grâce à la transformée de Bargmann, puis à l'aide de simulations numériques, on met en évidence une conjecture sur des conditions de quantification de Bohr-Sommerfeld pour des perturbations non auto-adjointes d'opérateurs de Berezin-Toeplitz du tore auto-adjoints.
|
|
Mathématiques et applications
/ 01-12-2016
Nguyen Thi Tuyen
Voir le résumé
Voir le résumé
La motivation principale de cette thèse est l'étude du comportement en temps grand des solutions non-bornées d'équations de Hamilton-Jacobi visqueuses dans RN en présence d'un terme d'Ornstein-Uhlenbeck. Nous considérons la même question dans le cas d'une équation de Hamilton-Jacobi du premier ordre. Dans le premier cas, qui constitue le cœur de la thèse, nous généralisons les résultats de Fujita, Ishii et Loreti (2006) dans plusieurs directions. La première est de considérer des opérateurs de diffusion plus généraux en remplaçant le Laplacien par une matrice de diffusion quelconque. Nous considérons ensuite des opérateurs non-locaux intégro-différentiels de type Laplacien fractionnaire. Le second type d'extension concerne le Hamiltonien qui peut dépendre de x et est seulement supposé sous-linéaire par rapport au gradient.
|
|
Mathématiques et applications
/ 08-12-2016
Bouette Margot
Voir le résumé
Voir le résumé
Un groupe de Baumslag-Solitar est un groupe dont la présentation est, pour p et q entiers non nuls. A chaque groupe de Baumslag-Solitar est associé un espace de déformation D p, q d'actions sur des arbres analogue à l'outre espace. Aut(BS(p, q)) agit sur cet espace ce qui induit une action du groupe des automorphismes extérieurs Out(BS(p,q)). Nous nous intéresserons au cas plus complexe où q est un multiple de p et dans un premier temps, nous démontrerons que tout automorphisme de BS(p, pn) est réductible ce qui signifie qu'il existe un BS(p,pn)-arbre T et une application laissant invariante un certain type de forêt. Ce résultat nous amènera à introduire un nouvel espace de déformation et une classification des automorphismes de BS(p, pn) en trois catégories : elliptique, parabolique ou hyperbolique. A l'aide de cette classification, nous démontrerons que tout automorphisme est à croissance soit polynomiale soit exponentielle.
|
|
Mathématiques et applications
/ 13-12-2016
Davy Damien
Voir le résumé
Voir le résumé
Le pseudo-groupe de Malgrange d'un champ de vecteurs défini sur une variété est la sous-pro-variété de l'espace des jets de biholomorphismes locaux de cette variété obtenue en prenant la clôture de Zariski des flots du champ de vecteurs. Une équation différentielle ordinaire d'ordre 2 définit un champ de vecteurs sur une variété de dimension 3. Le pseudogroupe de Malgrange de ce dernier est de type différentiel d'ordre inférieur ou égal à 2. Une équation différentielle ordinaire d'ordre 2 est dite irréductible si ses solutions générales ne peuvent pas être exprimées à l'aide de solutions d'équations algébriques, différentielles linéaires ou différentielles d'ordre 1. Si le type différentiel du pseudo-groupe de Malgrange d'une équation d'ordre 2 est exactement 2 alors cette dernière est irréductible. Nous donnons plusieurs définitions du pseudo-groupe de Malgrange d'un champ de vecteurs équivalentes à la définition originale donnée par Bernard Malgrange. La définition du premier paragraphe nous permet d'appliquer un théorème de semi-continuité de la dimension des clôtures de Zariski des feuilles d'un feuilletage holomorphe de Philippe Bonnet. Nous obtenons le résultat suivant concernant les équations différentielles ordinaires dépendant de paramètres. Si le type différentiel du pseudo-groupe de Malgrange de l'équation spécialisée en une valeur des paramètres est à exactement 2 alors il en sera de même pour les pseudo-groupes de Malgrange de l'équation spécialisée en des valeurs générales des paramètres. Une première application de ce résultat est de redémontrer l'irréductibilité des équations de Painlevé pour des valeurs générales des paramètres. Une seconde application est de déterminer complètement les pseudo-groupes de Malgrange de ces équations pour des valeurs générales des paramètres. Les définitions du pseudo-groupe de Malgrange et les résultats de spécialisations s'adaptent aux équations aux q-différences. En appliquant ces résultats aux équations de Painlevé discrètes, nous obtenons le pseudo-groupe de Malgrange de ces dernières pour des valeurs générales des paramètres.
|
|