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Mathématiques et applications
/ 22-12-2017
Doli Valentin
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On considère des organismes qui mixent reproduction sexuée et asexuée, dans une situation où la reproduction sexuée fait intervenir à la fois de la dispersion spatiale et de la limitation d'appariement. Nous proposons un modèle qui implique deux équations couplées, la première étant une équation différentielle ordinaire de type logistique, la seconde étant une équation de réaction-diffusion. Grâce à des valeurs réalistes des différents coefficients, il s'avère que la deuxième équation fait intervenir une échelle de temps rapide, alors que la première fait intervenir une échelle de temps lente. Dans un premier temps, on montre l'existence et l'unicité de solutions au système original. Dans un second temps, dans la limite où l'échelle de temps rapide est considérée infiniment rapide, on montre la convergence vers une dynamique réduite d'état d'équilibre, dont les termes correctifs peuvent être calculés à tout ordre. Troisièmement, en utilisant des propriétés de monotonie de notre système coopératif, on montre l'existence d'ondes progressives dans une région particulière de l'espace des paramètres (cas monostable).
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Mathématiques et applications
/ 14-06-2017
Dubarry Blandine
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L'objet de cette thèse est l'étude du comportement asymptotique des systèmes de fonctions itérées (IFS). Dans un premier chapitre, nous présenterons les notions liées à l'étude de tels systèmes et nous rappellerons différentes applications possibles des IFS telles que les marches aléatoires sur des graphes ou des pavages apériodiques, les systèmes dynamiques aléatoires, la classification de protéines ou encore les mesures quantiques répétées. Nous nous attarderons sur deux autres applications : les chaînes de Markov d'ordre infini et d'ordre variable. Nous donnerons aussi les principaux résultats de la littérature concernant l'étude des mesures invariantes pour des IFS ainsi que ceux pour le calcul de la dimension de Hausdorff. Le deuxième chapitre sera consacré à l'étude d'une classe d'IFS composés de contractions sur des intervalles réels fermés dont les images se chevauchent au plus en un point et telles que les probabilités de transition sont constantes par morceaux. Nous donnerons un critère pour l'existence et pour l'unicité d'une mesure invariante pour l'IFS ainsi que pour la stabilité asymptotique en termes de bornes sur les probabilités de transition. De plus, quand il existe une unique mesure invariante et sous quelques hypothèses techniques supplémentaires, on peut montrer que la mesure invariante admet une dimension de Hausdorff exacte qui est égale au rapport de l'entropie sur l'exposant de Lyapunov. Ce résultat étend la formule, établie dans la littérature pour des probabilités de transition continues, au cas considéré ici des probabilités de transition constantes par morceaux. Le dernier chapitre de cette thèse est, quant à lui, consacré à un cas particulier d'IFS : les chaînes de Markov de longueur variable (VLMC). On démontrera que sous une condition de non-nullité faible et de continuité pour la distance ultramétrique des probabilités de transitions, elles admettent une unique mesure invariante qui est attractive pour la convergence faible.
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Mathématiques et leurs interactions
/ 29-09-2023
Dufée Benjamin
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Cette thèse explore différentes techniques d’assimilation de données pour des modèles océaniques, et en particulier les modèles stochastiques. La méthodologie stochastique utilisée s’appelle l’incertitude de position (LU en anglais) et vise à incorporer un caractère stochastique à des modèles géophysiques via une décomposition de la vitesse en une composante grande échelle lisse en temps, ainsi qu’une composante aléatoire fortement oscillante, modélisée par un processus de Wiener cylindrique. Comme le caractère aléatoire du modèle ainsi que la quantification d’incertitude sont cruciaux pour l’assimilation de données, il est exposé dans cette thèse que le modèle LU comporte des avantages indéniables sur le modèle SQG (Surface Quasi-Geostrophic en anglais). Nous avons dans un premier temps, pour ce modèle SQG, comparé le modèle stochastique aux techniques déterministes d’inflation pour un filtre de Kalman d’ensemble "square-root" localisé. Nous avons obtenu, dans cette première étude, une validation numérique que l’inflation peut être difficile à régler et peut mener à une divergence du filtre en temps fini, et que le modèle stochastique donne de meilleurs performances que les modèles déterministes avec inflation en terme d’erreurs et de qualité de variance d’ensemble. Une deuxième étude a consisté à la proposition d’une procédure de calibration du bruit stochastique, visant à guider l’essaim de trajectoires vers une région d’intérêt, proche des observations. Cette procédure s’appuie sur le caractère stochastique inhérent de LU et se base sur les transformations de Girsanov. L’ajout de ce terme de guidage a mené à une amélioration significative des résultats dans le cas d’une mauvaise estimation de la condition initiale. La dernière partie de cette thèse étudie la prédiction d’ensemble sous le point de vue des espaces de Hilbert à noyau auto-repoduisant (RKHS en anglais). Dans ce contexte, l’opérateur de Koopman associé à la dynamique et son adjoint sont tous deux unitaires et uniformément continus, ce qui conduit à l’énoncé d’un théorème spectral adapté aux RKHS. Des méthodes d’assimilation de données sont conçues pour prendre en compte la structure et les propriétés des RKHS, qui justifient notamment un principe de superposition qui est largement utilisé, bien que sujet à caution, pour les filtres de Kalman d’ensemble.
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Mathématiques et leurs interactions
/ 22-06-2021
Eid Elie
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Nous proposons dans cette thèse des algorithmes effectifs de calcul d’isogénies entre courbes elliptiques et Jacobiennes de courbes hyperelliptiques via l’approche des équation différentielles p-adiques avec un bon contrôle de précision. Plus précisément, nous nous intéressons dans un premier temps au calcul d’isogénies entre courbes elliptiques définies sur une extension de Q2. Ce travail vient ainsi compléter ceux réalisés pour le cas impair. Nous donnons quelques applications, en particulier le calcul d’isogénies entre courbes elliptiques sur des corps finis de caractéristique 2 et de polynômes irréductibles, tous deux en temps quasi-linéaire en le degré. Dans un second temps, nous présentons un algorithme de calcul explicite de représentations rationnelles d’isogénies entre Jacobiennes de courbes hyperelliptiques sur une extension de Qp. Par conséquent, après avoir éventuellement relevé le problème dans les p-adiques, nous obtenons des algorithmes efficaces pour le calcul d’isogénies entre Jacobiennes de courbes hyperelliptiques définies sur des corps finis de caractéristique impaire. Une autre application importante que nous en déduisons est le calcul des polynômes de Cantor de l-divisions. L’efficacité de ces algorithmes repose sur une analyse fine des solutions d’équations différentielles p-adiques.
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Mathématiques et leurs interactions
/ 28-10-2021
Emerald Louis
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Cette thèse porte sur la justification rigoureuse de modèles de type dispersion complète en océanographie côtière. Le premier modèle de ce type est celui de G. Whitham, introduit en 1967 afin d'étudier les vagues de Stokes d'amplitude maximale et le phénomène de vagues surplombantes. Il consiste en une modification des équations de Korteweg-de Vries ayant la même relation de dispersion que celle des équations des vagues. Par la suite, de nombreux modèles de type dispersion complète, unidirectionnels comme bidirectionnels, ont été introduits dans la littérature. Dans une première partie, nous utilisons des techniques classiques d'approximations de solutions d'équations elliptiques afin de dériver des modèles de Whitham-Boussinesq et de Whitham-Green-Naghdi. Ensuite, nous justifions complètement une classe de modèles de Whitham-Boussinesq présentant une structure d'équations quasi-linéaires non-locales. Dans une partie suivante, nous justifions le modèle de Whitham en utilisant deux méthodes différentes. L'une est adaptée à la propagation de vagues unidirectionnelles, et utilise le calcul pseudo-différentiel. L'autre est adaptée à la propagation de vagues bidirectionnelles, et est basée sur une généralisation de l'algorithme de la forme normale de Birkhoff. Dans la dernière partie, nous étudions numériquement la validité des modèles de Boussinesq et de Saint-Venant pour la propagation de tsunamis générés par des glissements de terrain.
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Mathématiques et applications
/ 05-07-2016
Éon Richard
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Cette thèse porte sur l'étude d'équations différentielles de type frottement, c'est à dire d'équations de type attractive, avec un unique point stable 0, caractérisant la vitesse d'un objet soumis à une force de frottement. La vitesse de cet objet subit des perturbations aléatoires de type Lévy. Dans une première partie, nous nous intéressons aux propriétés fondamentales de ces EDS : existence et unicité de la solution, caractère markovien et ergodique de celle-ci et plus particulièrement le cas des processus de Lévy stable.
Dans un deuxième partie, nous étudions la stabilité de la solution de ces EDS lorsque la perturbation est un processus de Lévy stable qui tend vers 0. En effet, nous démontrons l'existence d'un développement limité d'ordre un autour de la solution déterministe pour la vitesse et la position de l'objet.
Dans une troisième partie, nous étudions le comportement asymptotique des solutions lorsque la vitesse initiale est nulle et que la perturbation est un processus de Lévy stable symétrique. Nous prouvons dans cette partie que l'accumulation de perturbations entraîne un comportement asymptotique gaussien de la position de l'objet, à condition que l'indice de stabilité du processus de Lévy et la croissance du potentiel soient suffisamment grand.
Dans une quatrième partie, nous levons l'hypothèse de symétrie de la perturbation en démontrant le même résultat que dans la troisième partie mais avec une dérive. Pour cela, nous étudions tout d'abord la queue de distribution de la mesure invariante associée à la vitesse de l'objet.
Enfin dans une dernière partie, nous nous intéressons au résultat de la troisième partie lorsque la perturbation est la somme d'un mouvement brownien et d'un processus de Lévy purement à sauts. Puis nous commençons l'étude de la dimension deux en traitant le cas où les équations sont découplées mais où les mouvement brownien directeurs sont dépendants.
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Mathématiques et applications
/ 13-10-2015
Favre-Martinoz Cyril
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Les travaux de recherche développés dans cette thèse portent sur l'estimation robuste dans un contexte de population finie et infinie. Cette thèse comporte cinq chapitres, une introduction et une conclusion. Le chapitre 2 passe en revue la littérature portant sur plusieurs sujets tels que : l'inférence en population finie, l'estimation pour des petits domaines, l'estimation robuste dans un contexte de populations finies mais également de populations infinies. Dans le chapitre 3, le problème du choix du seuil dans le cas des estimateurs winzorisés est abordé. Nous avons montré que ces estimateurs appartiennent à une classe plus large, ce qui a permis de déterminer la valeur du seuil qui minimise le plus grand biais conditionnel estimé de l'échantillon (en valeur absolue) par rapport à l'estimateur winzorisé. Sous certaines conditions, nous avons montré que le seuil optimal existe et qu'il est unique dans certaines situations. Nous avons également proposé une méthode de calage permettant d'assurer la cohérence externe, qui est un problème très important en pratique. Les résultats d'une étude par simulation montrent que la méthode proposée fonctionne très bien en termes de biais et d'efficacité relative. Dans le chapitre 4, nous avons généralisé les résultats obtenus par Beaumont, Haziza et Ruiz-Gazen (2013, Biometrika) au cas de l'échantillonnage à deux-phases avec application au problème de la non-réponse totale. À notre connaissance, c'est le premier article portant sur l'estimation robuste en présence de données manquantes. Nous avons développé une version robuste des estimateurs par double dilatation et des estimateurs de calage. Dans le chapitre 5, nous nous sommes intéressés à l'estimation robuste dans un contexte de statistique classique (ou de populations infinies). Nous avons proposé une alternative robuste à la moyenne empirique. En particulier, nous avons développé une expression approximative de l'erreur quadratique moyenne pour des distributions appartenant aux domaines d'attraction de Gumbel et à celui de Frechet, ce qui nous a permis de comparer l'efficacité de l'estimateur proposé à celle de l'estimateur winzorisé une fois proposé par Rivest (1994, Biometrika). Dans le chapitre 6, nous avons traité du problème de l'estimation robuste dans un contexte d'estimation pour petits domaines, qui est un sujet qui a suscité beaucoup d'intérêt dans les dernières années. Nous avons proposé une approche unifiée d'estimation robuste à la présence de valeurs influentes dans le cas d'un modèle linéaire mixte généralisé. Lorsque le modèle sous-jacent est un modèle linéaire mixte, la méthode proposée est équivalente à la méthode de Dongmo Jiongo, Haziza et Duchesne (2013, Biometrika). Nous avons effectué des simulations dans le cas d'une variable d'intérêt continue, d'une variable binaire et d'une variable de comptage et avons montré empiriquement que la méthode proposée a de bonnes propriétés en termes d'erreur quadratique moyenne.
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Mathématiques
/ 04-04-2018
Fernández Vargas Néstor
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Cette thèse est dédiée à l'étude des espaces de modules de fibrés sur une courbe algébrique et lisse sur le corps des nombres complexes. Le texte est composé de deux parties : Dans la première partie, je m'intéresse à la géométrie liée aux classifications de fibrés quasi-paraboliques de rang 2 sur une courbe elliptique 2-pointée, à isomorphisme près. Les notions d'indécomposabilité, simplicité et stabilité de fibrés donnent lieu à des espaces de modules qui classifient ces objets. La structure projective de ces espaces est décrite explicitement, et on prouve un théorème de type Torelli qui permet de retrouver la courbe elliptique 2-pointée. Cet espace de modules est aussi mis en relation avec l'espace de modules de fibrés quasi-paraboliques sur une courbe rationnelle 5-pointée, qui apparaît naturellement comme revêtement double de l'espace de modules de fibrés quasi-paraboliques sur la courbe elliptique 2-pointée. Finalement, on démontre explicitement la modularité des automorphismes de cet espace de modules. Dans la deuxième partie, j'étudie l'espace de modules de fibrés semistables de rang 2 et déterminant trivial sur une courbe hyperelliptique. Plus précisément, je m'intéresse à l'application naturelle donnée par le fibré déterminant, générateur du groupe de Picard de cet espace de modules. Cette application s'identifie à l'application theta, qui est de degré 2 dans notre cas. On définit une fibration de cet espace de modules vers un espace projective dont la fibre générique est birationnelle à l'espace de modules de courbes rationnelles 2g-épointées, et on décrit la restriction de theta aux fibres de cette fibration. On montre que cette restriction est, à une transformation birationnelle près, une projection osculatoire centrée en un point. En utilisant une description due à Kumar, on démontre que la restriction de l'application theta à cette fibration ramifie sur la variété de Kummer d'une certaine courbe hyperelliptique de genre g – 1.
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Mathématiques et applications
/ 04-07-2017
Fontaine Adrien
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Cette thèse décrit comment les ondes électromagnétiques se propagent dans les plasmas magnétisés, lorsque les fréquences sollicitées sont proches de la fréquence électron cyclotron. Elle porte sur l’analyse mathématique des variétés caractéristiques qui sont associées à des systèmes de type Vlasov-Maxwell relativiste avec paramètres rapides.
La première partie s’intéresse aux plasmas froids des magnétosphères planétaires. On explique comment obtenir les relations de dispersion dans le cas d’un dipôle magnétique. Cela conduit à l’étude détaillée de certaines variétés algébriques de l’espace cotangent : les cônes et les sphères dits ordinaires et extraordinaires. La description géométrique de ces cônes et de ces sphères donne accès à une classification complète des ondes électromagnétiques susceptibles de se propager. Diverses applications sont proposées, concernant l’équation eikonale et l’absence de propagation en mode parallèle, ou encore concernant la structure des ondes dites en mode siffleur.
La seconde partie porte sur la modélisation des plasmas chauds, typiquement ceux qui sont mis en jeu dans les tokamaks. On prouve dans un contexte réaliste que la propagation des ondes électromagnétiques s’effectue au travers d’un tenseur dielectrique. Ce tenseur est obtenu via une analyse fine des résonances cinétiques qui sont issues des interactions entre les particules (Vlasov) et les ondes (Maxwell). Il s’exprime comme une somme infinie d’intégrales singulières, faisant intervenir l’opérateur de Hilbert. Le sens mathématique de la formule donnant accès à ce tenseur est rigoureusement justifié.
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Mathématiques
/ 06-07-2020
Francini Camille
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Cette thèse comporte deux parties dans lesquelles les mesures de probabilités invariantes sur les solénoïdes jouent un rôle majeur. Les solénoïdes (c’est-à-dire les groupes abéliens compacts connexes de dimension topologique finie) sont des généralisations naturelles des tores usuels. Dans la première partie, nous étudions les groupes de transformations affines de solénoïdes ; nous obtenons une condition nécessaire et suffisante pour que l’action d’un tel groupe possède un trou spectral quand le solénoïde est muni de la mesure de Haar. Dans la deuxième partie nous étudions les traces et caractères des groupes algébriques sur le corps des nombres rationnels. Les traces d’un groupe dénombrable sont des fonctions de type positif sur le groupe qui sont invariantes par conjugaison. Les caractères (c’est-à-dire les traces qui sont indécomposables dans un certain sens) sont des généralisations des caractères usuels des représentations de dimension finie et interviennent en théorie des algèbres d’opérateurs ainsi que dans l’étude des sous-groupes distingués aléatoires. Nous commençons par classifier ces caractères dans le cas des groupes unipotents. Puis nous étendons cette classification au cas des groupes algébriques généraux, à l’aide de l’étude du cas unipotent et de la détermination des mesures invariantes sur les solénoïdes adéliques.
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