Dans cette thèse, nous établissons rigoureusement des ponts entre les écoulements continument stratifiés et les écoulements multi-couches. Dans une première partie, nous considérons le système de Saint-Venant multi-couches avec un terme supplémentaire diffusif qui a un effet régularisant, dont la motivation provient des travaux des océanographes Gent & McWilliams sur le mélange isopycnal et la diffusivité des tourbillons, et qui pourrait être interprété comme un terme de turbulence. En exploitant la structure de ce système, nous obtenons un dictionnaire qui nous permet d'interpréter ce système multi-couches comme une discrétisation de la formulation en coordonnées isopycnales du système hydrostatique continument stratifié avec le terme diffusif de Gent & McWilliams ajouté de manière similaire. Nous montrons la convergence de la solution discrète vers la solution continue à mesure que le nombre de couches tend vers l'infini, et nous fournissons un taux de convergence explicite. Dans une deuxième partie, dans cette thèse, nous abordons la limite "inverse", nous montrons rigoureusement que, sous certaines conditions d'hyperbolicité et dans un cadre topologique bien choisi, la solution du système continument stratifié converge vers le système de Saint-Venant bi-couches dans la limite de stratification nette.

Dans ce manuscrit, nous étudions différents problèmes de turbulence de couches limites. La première partie décrit un modèle simple de couplage de deux fluides caractérisés par le même problème de Stokes incompressible stationnaire. Le système d'équation est notamment fermé par une condition de continuité à l'interface, qui peut être vu comme une condition limite d'un système caractérisé par une condition de Robin à l'interface. Des algorithmes de décomposition de domaine de type Schwarz permettent d'établir des simulations numériques de ce modèle. Enfin, un modèle plus complexe d'équations de Navier-Stokes stationnaires avec conditions au bord non-linéaires est également étudié et simulé numériquement. Dans une deuxième partie, on analyse des systèmes d'équations elliptiques scalaires à poids, typiques de sous-couches turbulentes. On établit notamment l'existence de solutions faibles et la correspondance avec la théorie de Monin-Obukhov.

Cette thèse achève la classification des sous-schémas en groupes paraboliques des groupes algébriques semi-simples sur un corps algébriquement clos, en particulier de caractéristique deux et trois. Dans un premier temps, nous présentons la classification en supposant que la partie réduite de ces sous-groupes soit maximale, avant de passer au cas général. Nous parvenons à une description quasiment uniforme : à l'exception d'un groupe de type G₂ en caractéristique deux, chaque sous-schémas en groupes parabolique est obtenu en multipliant des paraboliques réduits par des noyaux d'isogénies purement inséparables, puis en prenant l'intersection. En conclusion, nous discutons quelques implications géométriques de cette classification.

Soit Z une surface de type fini et de caractéristique d'Euler strictement négative. Un courant géodésique sur Z est une mesure de Radon, stable par l'action du groupe fondamentale, sur les géodésiques non- orientées et bi-infinies du revêtement universel de Z. Cette notion a été introduite par F.Bonhaon en 1986 et a depuis eu de nombreuses applications à l'étude de la géométrie des surfaces. On s'intéresse ici à deux applications de cette notion: l'étude de la compactification de l'espace de Teichmüller et les problèmes de comptage de courbes. Le premier chapitre de ce manuscrit est dédié aux définitions et propriétés fondamentales nécessaires. Le chapitre 2 traite de la compactification de Thurston de l'espace de Teichmüller, en particulier, on prouve que la méthode de Bonahon par les courants géodésiques peut être adaptée aux surfaces non-compactes d'aire finie. Ce chapitre démontre aussi des résultats sur les suites de géodésiques aléatoires. Les deux chapitres suivant sont dédiés à des problèmes de comptage de géodésiques. Dans le chapitre 3 on montre que l'on peut compter les arcs d'une surface à bords à l'aide de suites convergentes de mesures sur les courants géodésiques. Puis, le chapitre 4 est dédié aux différentes ouvertures qu'offrent ce manuscrit. La principale étant le comptage des orbites pour l'action des sous-groupes du mapping class group sur les courbes.

Cette thèse est dédiée à des méthodes de simulation d'évènements rares et d'estimation de leurs probabilités. Nous nous concentrons sur des méthodes dites "particulaires" qui ont été développées depuis les années 50 : le principe est d'effacer successivement les particules trop éloignées de l'évènement rare étudié, et de les rebrancher sur les particules restantes. La première partie du manuscrit se concentre sur l'établissement d'un lien intrinsèque entre deux méthodes : un algorithme dénoté Sequential Monte Carlo et l'algorithme Adaptive Multi-level Splitting. Ainsi, nous montrons que ce dernier peut-être compris, dans un certain contexte, comme une limite du premier. Pour ce faire, nous détaillons un couplage entre les deux méthodes, avant de montrer la convergence de leurs points de branchement. Une fois cela terminé, cela nous apporte de nouvelles justifications pour prouver certaines propriétés sur les estimateurs, telles que le caractère sans biais. La seconde partie se concentre davantage sur l'algorithme AMS, avec seulement deux particules. Nous l'étudions alors dans un contexte "petit bruit" avec pour objectif de montrer la convergence des points de branchement vers une EDO déterministe. Pour ce faire, nous étudions un processus reconstruit, grâce à des arguments tels que le théorème de Girsanov et la h-transformation de Doob. Nous comparons ensuite l'EDO limite à celle donnée par la théorie de Freidlin-Wentzell qui correspond à la trajectoire "optimale".

L’optimisation convexe est fréquente en apprentissage automatique, statistiques, signal et image. La résolution de problèmes d'optimisation en grande dimension reste difficile en raison de contraintes calculatoires et de stockage. La dernière décennie, les méthodes de ''safe screening'' sont devenues un outil puissant pour réduire la dimension de ces problèmes en se basant sur la connaissance d'une ''safe region'' contenant la solution optimale duale. La première contribution de cette thèse est un cadre mathématique pour créer de nouvelles ''safe region'' tout en démontrant leur supériorité par rapport à l'état de l'art. Notre cadre offre également une manière élégante d’unifier les ''safe regions'' existantes. Cette contribution établit en particulier une base théorique pour les futures avancées dans l’étude des ''safe region''. La seconde contribution est une extension de la méthodologie de ''safe screening'' à des problèmes en dimension infinie. Nous montrons notamment que l’intégration de cette méthode dans un algorithme de l'état de l'art permet de réduire significativement sa complexité numérique tout en préservant sa propriété de convergence. Cette contribution met en évidence le potentiel du ''safe screening'' pour résoudre efficacement les défis calculatoires dans des contextes de dimension infinie.

Dans cette thèse nous étudions un ensemble de techniques relatives à l’application du chiffrement fonctionnel pour la conception de modèles d’apprentissage automatique sur données à caractère confidentiel. Après avoir passé en revu les schémas de chiffrement fonctionnels majeurs de l’état de l’art, nous proposons des combinaisons et des adaptations de schémas existants. Nous portons une attention particulière aux schémas basés sur les problèmes de réseaux LWE et RLWE pour leurs propriétés post-quantiques. A des fins d’expérimentations, nous déroulons des scénarios d’utilisation du chiffrement fonctionnel pour la conception et l’exploitation de modèles de classification sur des données de type images et acoustiques. Nous démontrons ainsi la faisabilité d’application de ce type de construction cryptographique à des cas d’usage industriels. En particulier, nous rapportons des exemples de déchiffrements fonctionnels permettant le calcul d’analyse par composantes principales, d’analyse discriminante linéaire et de transformée de Fourier, ainsi que le calcul de couches neuronales de convolutions linéaires et quadratiques. Enfin, nous proposons un ensemble de méthodes pour la recherche de paramètres de chiffrement fonctionnel maximisant les performances des modèles à apprendre tout en garantissant un niveau de sécurité et une probabilité d’exactitude de déchiffrement.

Cette thèse explore différentes techniques d’assimilation de données pour des modèles océaniques, et en particulier les modèles stochastiques. La méthodologie stochastique utilisée s’appelle l’incertitude de position (LU en anglais) et vise à incorporer un caractère stochastique à des modèles géophysiques via une décomposition de la vitesse en une composante grande échelle lisse en temps, ainsi qu’une composante aléatoire fortement oscillante, modélisée par un processus de Wiener cylindrique. Comme le caractère aléatoire du modèle ainsi que la quantification d’incertitude sont cruciaux pour l’assimilation de données, il est exposé dans cette thèse que le modèle LU comporte des avantages indéniables sur le modèle SQG (Surface Quasi-Geostrophic en anglais). Nous avons dans un premier temps, pour ce modèle SQG, comparé le modèle stochastique aux techniques déterministes d’inflation pour un filtre de Kalman d’ensemble "square-root" localisé. Nous avons obtenu, dans cette première étude, une validation numérique que l’inflation peut être difficile à régler et peut mener à une divergence du filtre en temps fini, et que le modèle stochastique donne de meilleurs performances que les modèles déterministes avec inflation en terme d’erreurs et de qualité de variance d’ensemble. Une deuxième étude a consisté à la proposition d’une procédure de calibration du bruit stochastique, visant à guider l’essaim de trajectoires vers une région d’intérêt, proche des observations. Cette procédure s’appuie sur le caractère stochastique inhérent de LU et se base sur les transformations de Girsanov. L’ajout de ce terme de guidage a mené à une amélioration significative des résultats dans le cas d’une mauvaise estimation de la condition initiale. La dernière partie de cette thèse étudie la prédiction d’ensemble sous le point de vue des espaces de Hilbert à noyau auto-repoduisant (RKHS en anglais). Dans ce contexte, l’opérateur de Koopman associé à la dynamique et son adjoint sont tous deux unitaires et uniformément continus, ce qui conduit à l’énoncé d’un théorème spectral adapté aux RKHS. Des méthodes d’assimilation de données sont conçues pour prendre en compte la structure et les propriétés des RKHS, qui justifient notamment un principe de superposition qui est largement utilisé, bien que sujet à caution, pour les filtres de Kalman d’ensemble.

Cette thèse contient deux parties. La partie I étudie une classe spécifique d'équations différentielles non linéaires oscillantes dans des espaces de dimension finie. Sous des conditions d'intégrabilité, une procédure de « blow-up » et une approximation WKB (de type sur-critique) conduisent à de l'existence en temps longs, à des développements asymptotiques avec une forme forte de stabilité, ainsi qu'à des modèles réduits. En exploitant des conditions de transparence et le théorème d'inversion globale de Hadamard, les résultats sont ensuite appliqués à l'étude d'une classe d'équations de Hamilton-Jacobi oscillantes. Ils sont aussi utilisés pour décrire les caractéristiques de l'équation de Vlasov en présence d'un champ électromagnétique fixe (E,B) tel que E pas égal à zéro et |B| est très grand. La partie II explore la transition de la dynamique quantique vers la dynamique classique des interactions particule-champ. Nous obtenons: le caractère globalement bien-posé en temps du système particule-champ et la validation du principe de correspondance de Bohr du modèle de Nelson. Ensuite, nous étudions la construction de solutions globales de faible régularité pour des problèmes de valeur initiale abstraits dans des espaces de dimension infinie. Nous utilisons des techniques de la théorie de la mesure, une représentation probabiliste et des arguments projectifs pour montrer l'existence de solutions globales pour presque toutes les données initiales. Ceci est appliqué pour construire des solutions globales pour des EDPs non linéaires comme les équations de Hartree, Klein-Gordon, NLS, Euler et mSQG.

L'objectif de cette thèse est d'obtenir une meilleure compréhension du comportement des taux de croissance exponentiels au sein de la classe des groupes qui agissent de manière acylindrique dans un espace hyperbolique au sens de Gromov. Pour ce faire, nous aborderons deux problèmes de nature différente. Dans le premier problème, nous étudierons les taux de croissance exponentiels des sous-groupes quasi-convexes. Nous comparerons ces taux avec celui du groupe ambiant et nous déterminerons quand il est possible d'obtenir une égalité/inégalité stricte. Pour ce faire, nous allons exploiter des actions propres sur des espaces métriques, a priori, non hyperboliques, mais dont les isométries se comportent comme les isométries loxodromiques d'un espace hyperbolique. Le deuxième problème tourne autour de la croissance exponentielle uniforme uniforme. Nous prouverons que cette propriété est préservée si nous prenons des quotients à petite simplification de groupes qui agissent de manière acylindrique sur un espace hyperbolique. En corollaire, nous obtiendrons qu'il existe une borne inférieure universelle sur le taux de croissance exponentielle uniforme pour la famille des quotients à petite simplification classique. Cette borne ne dépend que d'un des deux paramètres d'acylindricité.