Cette thèse porte sur l’étude d’équations aux dérivées partielles dirigées par un opérateur aléatoire singulier. L’objet central de ce travail est l’opérateur d’Anderson, c’est-à-dire l’opérateur de Schrödinger avec comme potentiel un bruit blanc spatial. En utilisant les outils du calcul paracontrôlé et après une procédure de renormalisation, on est à même de définir cet opérateur singulier sur une surface compacte et d’obtenir de bonnes propriétés spectrales, en particulier une compréhension fine de sa fonction de Green est proposée. On peut alors par exemple adapter des méthodes de compacité et de fonctionnelles auto-duales pour étudier l’existence de solutions aux les équations stationnaires dirigées par cet opérateur sur une surface compacte. On s’intéresse également à une version non-locale et quasilinéaire du modèle parabolique d’Anderson sur le tore, en établissant un résultat d’existence locale sous certaines conditions. Une large partie de ce manuscrit est dédiée à la question de la quantification stochastique dans l’environnement singulier régi par l’opérateur d’Anderson. À l’aide de la formule de Boué-Dupuis, on construit une mesure de Gibbs pour l’équation de quantification associée à cet opérateur et on étudie le caractère bien posé de l’équation. On s’intéresse ensuite à une construction dynamique de cette mesure dans le cas de l’équation Φ42 dirigée par l’opérateur d’Anderson, pour obtenir de bonnes propriétés probabilistes sur la solution.