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Mathématiques et leurs interactions
/ 25-03-2019
Meurée Cédric
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L'arterial spin labelling (ASL) est une technique d'imagerie par résonance magnétique de la perfusion cérébrale. Les travaux présentés dans cette thèse ont d'abord consisté à standardiser les acquisitions ASL dans le contexte d'études de neuro-imagerie multicentriques. Un processus de contrôle de la qualité des images a par la suite été proposé. Les travaux se sont ensuite orientés vers le post-traitement de données ASL, en évaluant la capacité d'algorithmes existants à y corriger les distorsions. Des méthodes de super-résolution adaptées aux acquisitions ASL mono et multi-TI ont finalement été proposées et validées sur des données simulées, de sujets sains, ou de patients imagés pour suspicion de tumeurs cérébrales.
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Mathématiques et leurs interactions
/ 12-12-2019
Nguyen Duc Tho
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Ce manuscrit est consacré à l'étude de la mécanique classique et la mécanique quantique en présence d'un champ magnétique. En mécanique classique, nous utilisons un Hamiltonien pour décrire la dynamique d'une particule chargée dans un domaine soumis à un champ magnétique. Nous nous intéressons ici à deux problèmes classiques de physique : le problème de confinement et le problème de scattering. Dans le cas quantique, nous étudions le problème spectral du laplacien magnétique au niveau semi-classique dans des domaines de dimension deux: sur une variété Riemanienne compacte à bord et dans ℝ ². En supposant que le champ magnétique ait un unique minimum strictement positif et non-dégénéré, nous pouvons décrire les fonctions propres par les méthodes WKB. Grâce au théorème spectral, nous pouvons estimer efficacement les vraies fonctions propres et les fonctions propres approchées localement proche du minimum du champ magnétique. Dans ℝ ², sous l'hypothèse additionnelle d'une symétrie radiale du champ magnétique, nous pouvons montrer que les fonctions propres du laplacien magnétique décroissent de manière exponentielle à l'infini avec une vitesse contrôlée par la fonction phase de la procédure WKB. De plus, les fonctions propres sont très bien approchées dans un espace à poids exponentiel.
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Mathématiques et applications
/ 04-10-2013
Wachter-Zeh Antonia
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Les code en métrique rang attirent l’attention depuis quelques années en raison de leur application possible au codage réseau linéaire aléatoire (random linear network coding), à la cryptographie à clé publique, au codage espace-temps et aux systèmes de stockage distribué. Une construction de codes algébriques en métrique rang de cardinalité optimale a été introduite par Delsarte, Gabidulin et Roth il y a quelques décennies. Ces codes sont considérés comme l’équivalent des codes de Reed – Solomon et ils sont basés sur l’évaluation de polynômes linéarisés. Ils sont maintenant appelés les codes de Gabidulin. Cette thèse traite des codes en bloc et des codes convolutifs en métrique rang avec l’objectif de développer et d’étudier des algorithmes de décodage efficaces pour ces deux classes de codes. Après une introduction dans le chapitre 1, le chapitre 2 fournit une introduction rapide aux codes en métrique rang et leurs propriétés. Dans le chapitre 3, on considère des approches efficaces pour décoder les codes de Gabidulin. Lapremière partie de ce chapitre traite des algorithmes rapides pour les opérations sur les polynômes linéarisés. La deuxième partie de ce chapitre résume tout d’abord les techniques connues pour le décodage jusqu’à la moitié de la distance rang minimale (bounded minimum distance decoding) des codes de Gabidulin, qui sont basées sur les syndromes et sur la résolution d’une équation clé. Ensuite, nous présentons et nous prouvons un nouvel algorithme efficace pour le décodage jusqu’à la moitié de la distance minimale des codes de Gabidulin. Le chapitre 4 est consacré aux codes de Gabidulin entrelacés et à leur décodage au-delà de la moitié de la distance rang minimale. Dans ce chapitre, nous décrivons d’abord les deux approches connues pour le décodage unique et nous tirons une relation entre eux et leurs probabilités de défaillance. Ensuite, nous présentons un nouvel algorithme de décodage des codes de Gabidulin entrelacés basé sur l’interpolation des polynômes linéarisés. Nous prouvons la justesse de ses deux étapes principales — l’interpolation et la recherche des racines — et montrons que chacune d’elles peut être effectuée en résolvant un système d’équations linéaires. Jusqu’à présent, aucun algorithme de décodage en liste en temps polynomial pour les codes de Gabidulin n’est connu et en fait il n’est même pas clair que cela soit possible. Cela nous a motivé à étudier, dans le chapitre 5, les possibilités du décodage en liste en temps polynomial des codes en métrique rang. Cette analyse est effectuée par le calcul de bornes sur la taille de la liste des codes en métriques rang en général et des codes de Gabidulin en particulier. Étonnamment, les trois nouvelles bornes révèlent toutes un comportement des codes en métrique rang qui est complètement différent de celui des codes en métrique de Hamming. Enfin, dans le chapitre 6, on introduit des codes convolutifs en métrique rang. Ce qui nous motive à considérer ces codes est le codage réseau linéaire aléatoire multi-shot, où le réseau inconnu varie avec le temps et est utilisé plusieurs fois. Les codes convolutifs créent des dépendances entre les utilisations différentes du réseau aun de se adapter aux canaux difficiles. Basé sur des codes en bloc en métrique rang (en particulier les codes de Gabidulin), nous donnons deux constructions explicites des codes convolutifs en métrique rang. Les codes en bloc sous-jacents nous permettent de développer un algorithme de décodage des erreurs et des effacements efficace pour la deuxième construction, qui garantit de corriger toutes les séquences d’erreurs de poids rang jusqu’à la moitié de la distance rang active des lignes. Un résumé et un aperçu des problèmes futurs de recherche sont donnés à la fin de chaque chapitre. Finalement, le chapitre 7 conclut cette thèse.
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Mathématiques et applications
/ 30-09-2014
Dao Xuan Quy
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Cette thèse a pour but l'étude de la mise en œuvre de commandes par asservissement visuel pour le contrôle actif d'un écoulement de Poiseuille. D'un point de vue général, le contrôle d'écoulements vise à modifier ou à maintenir l'état de l'écoulement, malgré une éventuelle perturbation extérieure. Une des situations d'intérêt concerne par exemple la transition vers la turbulence où l'écoulement peut devenir turbulent avec la croissance de sa densité d'énergie cinétique. La réduction de la traînée est également une application potentielle dans des problèmes d'ingénierie. Un des buts applicatifs de cette thèse cherchera ainsi à minimiser à la fois la densité d'énergie cinétique et la traînée. Des modèles numériques peuvent être utilisés pour générer un modèle d'état des équations aux dérivées partielles d'un écoulement de Poiseuille. Le modèle d'état considéré dans cette thèse s'appuie sur une représentation spectrale afin de transformer les équations aux dérivées partielles originelles en un système d'équations différentielles ordinaires. Le vecteur d'état rassemble dans notre cas la vitesse et la vorticité. Les signaux de commande dépendent eux de conditions aux limites de type Dirichlet non homogènes qui correspondent à des actions de soufflage/aspiration. Le nombre de degrés de liberté commandé du problème correspond à la dimension du signal de commande. La densité d'énergie cinétique et la traînée sont modélisées en fonction du vecteur d'état et du signal de commande. Dans cette thèse nous avons plus particulièrement considéré un asservissement visuel partitionné. Celui-ci est appliqué au modèle d'état de l'écoulement avec deux degrés de liberté afin de minimiser simultanément la densité d'énergie cinétique et la traînée. La traînée, contrairement à l'énergie cinétique, diminue de façon monotone en fonction du temps. Une augmentation du nombre de degrés de liberté permet d'améliorer la décroissance de la densité d'énergie cinétique. Lorsque le nombre de degré de liberté correspond à la dimension du vecteur d'état, et en s'appuyant sur une commande par asservissement visuel, nous montrons que la densité d'énergie cinétique décroit de façon monotone au cours du temps. Le modèle d'état de l'écoulement de Poiseuille vit dans un espace de très grande dimension. Par conséquent, il est nécessaire d'un point de vue pratique de réduire la dimension du contrôleur. Nous démontrons que la loi de commande s'appuyant sur un modèle réduit peut être appliquée au système complet. Dans ce cas la densité d'énergie cinétique décroit presque de façon monotone au cours du temps en utilisant une commande par asservissement visuel à deux degrés de liberté.
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Mathématiques et leurs interactions
/ 14-12-2021
Nguyen Van Hoi
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Cette thèse porte sur l’étude de la modélisation mathématique d’un milieu matériel potentiellement défectueux dans le cadre de la géométrie différentielle. Il est couramment admis que la modélisation des milieux à défauts est étroitement en lien avec l’étude des variétés de Riemann-Cartan. Dans ce cadre, les tenseurs de torsion et de courbure sont interprétés comme des densités de dislocations et de disclinations. C'est la raison pour laquelle notre attention s’est concentrée sur la formulation de telles variétés mais aussi sur l’observation de l'évolution des défauts au cours d'une transformation. Deux modèles sont présentés, ils sont basés sur une géométrie (de variétés) de Riemann-Cartan associée à une variété de base ou à une structure de fibré. La seconde approche possède des caractéristiques plus avantageuses dans le sens ou elle permet d’inclure une large classe de matériaux en illustrant des phénomènes à plusieurs échelles. Comme, nous nous concentrons uniquement sur des transformations lisses de variétés lisses les modèles s’adaptent facilement à une exploitation numérique. C’est l’occasion d’étudier numériquement et théoriquement l'influence de la micro-structure sur la macro-structure qui est pris en compte à travers un facteur d'échelle. Enfin, nous montrerons des nouvelles théories motivent plusieurs problèmes en mathématiques et en mécanique.
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Mathématiques et leurs interactions
/ 12-07-2023
Legaspi Juanatey Xabier
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L'objectif de cette thèse est d'obtenir une meilleure compréhension du comportement des taux de croissance exponentiels au sein de la classe des groupes qui agissent de manière acylindrique dans un espace hyperbolique au sens de Gromov. Pour ce faire, nous aborderons deux problèmes de nature différente. Dans le premier problème, nous étudierons les taux de croissance exponentiels des sous-groupes quasi-convexes. Nous comparerons ces taux avec celui du groupe ambiant et nous déterminerons quand il est possible d'obtenir une égalité/inégalité stricte. Pour ce faire, nous allons exploiter des actions propres sur des espaces métriques, a priori, non hyperboliques, mais dont les isométries se comportent comme les isométries loxodromiques d'un espace hyperbolique. Le deuxième problème tourne autour de la croissance exponentielle uniforme uniforme. Nous prouverons que cette propriété est préservée si nous prenons des quotients à petite simplification de groupes qui agissent de manière acylindrique sur un espace hyperbolique. En corollaire, nous obtiendrons qu'il existe une borne inférieure universelle sur le taux de croissance exponentielle uniforme pour la famille des quotients à petite simplification classique. Cette borne ne dépend que d'un des deux paramètres d'acylindricité.
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Mathématiques et leurs interactions
/ 24-03-2021
Ben Ali Mohamed Yacine
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Dans cette thèse, nous étudions la modélisation de Navier-Stokes moyennée par Reynolds (RANS) avec modèle de fermeture dans le cadre d'assimilation de données variationnelle (VDA) prédictif des écoulements du vent autour de grandes structures. Les données considérées proviennent uniquement des mesures de pression pariétale menées dans des expériences en soufflerie. Ceci constitue une première étape vers l'application du VDA à des situations pratiques de l'ingénierie du vent où les mesures en volume de l'écoulement ne sont généralement pas abordables. La technique VDA est écrite comme un problème d'optimisation, que nous résolvons en utilisant la méthode adjointe. Une attention particulière est accordée à la dérivation du modèle de turbulence adjoint et de la loi de paroi adjointe. La méthodologie adjointe est utilisée dans cette thèse pour répondre à deux objectifs particuliers. D'une part, nous étudions un cadre méthodologique permettant un diagnostic approfondi de la fermeture de turbulence. Cela va de l'analyse des champs adjointe à l'analyse de sensibilité des coefficients et ensuite à leur calibration. D'autres part, visant un couplage efficace entre le modèle et les données, nous considérons la méthode comme un outil de reconstruction de l’écoulement. Dans cette optique, nous avons considéré une assimilation dite sous contrainte faible par intégration de nouveaux termes permettant de corriger les erreurs de modélisation. En diagnostic, l'analyse de sensibilité a révélé un grand intérêt pour l'optimisation des coefficients davantage au niveau des couches de cisaillement résultant de la séparation et moins dans la région de sillage. Dans la calibration, la validité de certaines hypothèses de modélisation a été explorée en observant l'effet de relâchement des relations entre les coefficients. L'application de la contrainte qui assimile le mélange d'énergie de turbulence au mélange d'impulsion a conduit à un meilleur accord avec les données. Par ailleurs, il a été souligné qu'une telle fermeture de turbulence est trop rigide pour permettre à la solution s'écarter de son espace de base. En reconstruction, nous avons considéré des termes de forçage additif qui peuvent agir sur les équations de quantité de mouvement et/ou sur les équations de turbulence. Avec des observations parcimonieuses, le champ de sensibilité est généralement peu régulier pour des paramètres distribués, une projection sur un espace de fonctions plus régulières comme l'espace de Sobolev est proposée. Il a été démontré que cela conduit à une procédure d'assimilation des données très efficace car elle améliore la direction de descente et fournit un mécanisme de régularisation utile. En résultats, nous montrons que le forçage sur l'équation de la quantité de mouvement permet d'agir efficacement à proximité des capteurs pour corriger la pression, et se trouve en situation de sur-ajustement. Cela peut être amélioré en multipliant préalablement le forçage par le gradient de l'énergie cinétique. Au contraire, agir sur l'équation de transport du taux de dissipation de turbulences améliore la diffusion turbulente qui amène une réduction significative de la longueur de recirculation, mais avec une pénalité en termes de contrôlabilité. Enfin, nous montrons que des reconstructions d’écoulement plus précises peuvent être effectuées en combinant les deux stratégies.
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Mathématiques et leurs interactions
/ 11-10-2019
aDíaz Arboleda Juan Sebastián
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Le texte commence par une brève description de théorie différentielle de Galois dans une perspective géométrique. Ensuite, la théorie paramétrée de Galois est développée au moyen d’une prolongation des connexions partielles avec les fibrés de jets. La relation entre les groupes de Galois différentiels a paramètres et les déformations isomonodromiques est développée comme une application du théorème de Kiso-Cassidy. Il s’ensuit le calcul des groupes de Galois a paramètres de l’équation générale fuchsienne et de l’équation hypergéométrique de Gauss. Enfin, certaines applications non linéaires sont développées. Au moyen d’un théorème de Kiso-Morimoto, un analogue non linéaire, on calcule le groupoïde de Malgrange de l’équation de Painlevé VI à paramètres variables.
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Mathématiques et applications
/ 10-01-2017
Resseguier Valentin
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Cette thèse concerne le développement, l'extension et l'application d'une formulation stochastique des équations de la mécanique des fluides introduite par Mémin (2014). La vitesse petite échelle, non-résolue, est modélisée au moyen d'un champ aléatoire décorrélé en temps. Cela modifie l'expression de la dérivée particulaire et donc les équations de la mécanique des fluides. Les modèles qui en découlent sont dénommés modèles sous incertitude de position. La thèse s'articulent autour de l'étude successive de modèles réduits, de versions stochastiques du transport et de l'advection à temps long d'un champ de traceur par une vitesse mal résolue. La POD est une méthode de réduction de dimension, pour EDP, rendue possible par l'utilisation d'observations. L'EDP régissant l'évolution de la vitesse du fluide est remplacée par un nombre fini d'EDOs couplées. Grâce à la modélisation sous incertitude de position et à de nouveaux estimateurs statistiques, nous avons dérivé et simulé des versions réduites, déterministe et aléatoire, de l'équation de Navier-Stokes. Après avoir obtenu des versions aléatoires de plusieurs modèles océaniques, nous avons montré numériquement que ces modèles permettaient de mieux prendre en compte les petites échelles des écoulements, tout en donnant accès à des estimés de bonne qualité des erreurs du modèle. Ils permettent par ailleurs de mieux rendre compte des évènements extrêmes, des bifurcations ainsi que des phénomènes physiques réalistes absents de certains modèles déterministes équivalents. Nous avons expliqué, démontré et quantifié mathématiquement l'apparition de petites échelles de traceur, lors de l'advection par une vitesse mal résolu. Cette quantification permet de fixer proprement des paramètres de la méthode d'advection Lagrangienne, de mieux le comprendre le phénomène de mélange et d'aider au paramétrage des simulations grande échelle en mécanique des fluides.
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Mathématiques et leurs interactions
/ 06-09-2019
Cui Peiyi
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Fixons un nombre premier p. Soit k un corps algébriquement clos de caractéristique l différent que p. Nous construisons les k-types maximaux simples cuspidaux des sous-groupes de Levi M' de SL_n(F), où F est un corps local non archimédien de caractéristique résiduelle p. Nous montrons que le support supercuspidal des k-représentations lisses irréductibles de M' est unique à M'-conjugaison près, quand F est soit un corps fini de caractéristique p soit un corps local non-archimédien de caractéristique résiduelle p.
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