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Mathématiques et leurs interactions
/ 06-12-2021
Hariz Marwan
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Nous discutons dans cette thèse une poutre de Timoshenko élastique, isotrope, homogène et droite avec des lois de comportements linéaires, soumise à des forces et moments extérieurs et entourée éventuellement par des fondations. Plus précisément, nous nous intéressons d’une part à l’analyse de l’effet des fondations de Winkler sur une poutre de Timoshenko. Nous donnons des solutions pour le problème dynamique, puis en imposant une force longitudinale, nous analysons le modèle de Haringx et Engesser d’une manière analytique en offrant une relation entre la rigidité de la paroi et les solutions de flambement. D’autre part, nous exposons les solutions quasi-statique d’une poutre de Timoshenko en grande déformation. Nous proposons des solutions analytiques de post-flambement pour différents régimes governés explicitement par les deux invariants du problème. Dans le cas d’une poutre plane, le problème est d’abord reformulé comme un problème de Cauchy. Nous discutons également des problèmes de bifurcation tels que le flambage et la catastrophe. Dans le cas non plan, nous imposons uniquement un moment à l’extrémité afin d’obtenir différents régimes qui dépendent de l’épaisseur de la section transversale et de la charge externe.
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Mathématiques et leurs interactions
/ 28-10-2021
Emerald Louis
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Cette thèse porte sur la justification rigoureuse de modèles de type dispersion complète en océanographie côtière. Le premier modèle de ce type est celui de G. Whitham, introduit en 1967 afin d'étudier les vagues de Stokes d'amplitude maximale et le phénomène de vagues surplombantes. Il consiste en une modification des équations de Korteweg-de Vries ayant la même relation de dispersion que celle des équations des vagues. Par la suite, de nombreux modèles de type dispersion complète, unidirectionnels comme bidirectionnels, ont été introduits dans la littérature. Dans une première partie, nous utilisons des techniques classiques d'approximations de solutions d'équations elliptiques afin de dériver des modèles de Whitham-Boussinesq et de Whitham-Green-Naghdi. Ensuite, nous justifions complètement une classe de modèles de Whitham-Boussinesq présentant une structure d'équations quasi-linéaires non-locales. Dans une partie suivante, nous justifions le modèle de Whitham en utilisant deux méthodes différentes. L'une est adaptée à la propagation de vagues unidirectionnelles, et utilise le calcul pseudo-différentiel. L'autre est adaptée à la propagation de vagues bidirectionnelles, et est basée sur une généralisation de l'algorithme de la forme normale de Birkhoff. Dans la dernière partie, nous étudions numériquement la validité des modèles de Boussinesq et de Saint-Venant pour la propagation de tsunamis générés par des glissements de terrain.
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Mathématiques et leurs interactions
/ 13-07-2021
Morin Léo
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Le Laplacien magnétique est un opérateur de Schrödinger en présence d'un champ magnétique, et le but de cette thèse est d'étudier son spectre dans la limite semiclassique. Nous considérons des champs qui ne s’annulent pas. Dans ce cas, les méthodes d'analyse microlocale et semiclassique permettent d'exhiber un oscillateur harmonique qui est induit par le champ lui-même : le mouvement cyclotron. Dans le cas d'un champ uniforme, cette oscillation quantifie le spectre en niveaux de Landau : des valeurs propres infiniment dégénérées. Si l'on ajoute des variations au champ, ces niveaux se divisent et contribuent à l'ensemble du spectre. Nous expliquons ce phénomène et en déduisons une description précise du spectre du Laplacien magnétique et de perturbations non nécessairement auto- adjointes de celui-ci, à l'aide de formes normales de Birkhoff. Nous exhibons en particulier l’influence de quantités géométriques comme les lignes de champ sur le spectre de l’opérateur. Le cas des puits magnétiques discrets est étudié en détail.
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Mathématiques et leurs interactions
/ 24-06-2021
Mouzard Antoine
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Cette thèse porte sur le calcul paracontrôlé construit à l’aide du semi-groupe de la chaleur pour étudier différentes équations aux dérivées partielles stochastiques singulières sur des variétés riemanniennes compactes. En utilisant la formule de Calderón comme analogue continu à la décomposition de Paley-Littlewood, on peut construire un paraproduit dans un tel cadre géométrique. Il est alors possible de donner un sens à une large classe d’équations paraboliques semi-linéaires incluant les équations généralisées de KPZ en dimension 1+1 et du modèle parabolique d’Anderson en dimension 3. On montre ensuite que cette méthode peut être étendue pour la résolution des versions quasi-linéaires de ces équations en adaptant simplement les outils du calcul paracontrôlé et en généralisant la notion de système paracontrôlé à des familles infinies générées par une structure algébrique finie.Un autre problème abordé dans cette thèse est l’étude des opérateurs stochastiques singuliers comme l’hamiltonien d’Anderson, c’est-à-dire l’opérateur de Schrödinger avec comme potentiel un bruit blanc espace. Après une étape de renormalisation, le calcul paracontrôlé permet la définition de cet objet en tant qu’opérateur auto-adjoint à spectre discret. D’autres opérateurs sont aussi étudiés comme le laplacien magnétique avec un champ magnétique bruit blanc. L’étude de ce type d’opérateur permet la résolution d’équations d’évolutions associées ou l’étude de modèles aléatoires continus. On obtient ainsi des inégalités de Strichartz pour les équations de Schrödinger et des ondes avec un potentiel bruit blanc sur une surface compacte avec ou sans bord et on étudie les modèles de la mesure polymère en dimension 2 avec potentiel bruit blanc et la diffusion de Brox sur le cercle.
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Mathématiques et leurs interactions
/ 22-06-2021
Eid Elie
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Nous proposons dans cette thèse des algorithmes effectifs de calcul d’isogénies entre courbes elliptiques et Jacobiennes de courbes hyperelliptiques via l’approche des équation différentielles p-adiques avec un bon contrôle de précision. Plus précisément, nous nous intéressons dans un premier temps au calcul d’isogénies entre courbes elliptiques définies sur une extension de Q2. Ce travail vient ainsi compléter ceux réalisés pour le cas impair. Nous donnons quelques applications, en particulier le calcul d’isogénies entre courbes elliptiques sur des corps finis de caractéristique 2 et de polynômes irréductibles, tous deux en temps quasi-linéaire en le degré. Dans un second temps, nous présentons un algorithme de calcul explicite de représentations rationnelles d’isogénies entre Jacobiennes de courbes hyperelliptiques sur une extension de Qp. Par conséquent, après avoir éventuellement relevé le problème dans les p-adiques, nous obtenons des algorithmes efficaces pour le calcul d’isogénies entre Jacobiennes de courbes hyperelliptiques définies sur des corps finis de caractéristique impaire. Une autre application importante que nous en déduisons est le calcul des polynômes de Cantor de l-divisions. L’efficacité de ces algorithmes repose sur une analyse fine des solutions d’équations différentielles p-adiques.
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Mathématiques et leurs interactions
/ 24-03-2021
Ben Ali Mohamed Yacine
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Dans cette thèse, nous étudions la modélisation de Navier-Stokes moyennée par Reynolds (RANS) avec modèle de fermeture dans le cadre d'assimilation de données variationnelle (VDA) prédictif des écoulements du vent autour de grandes structures. Les données considérées proviennent uniquement des mesures de pression pariétale menées dans des expériences en soufflerie. Ceci constitue une première étape vers l'application du VDA à des situations pratiques de l'ingénierie du vent où les mesures en volume de l'écoulement ne sont généralement pas abordables. La technique VDA est écrite comme un problème d'optimisation, que nous résolvons en utilisant la méthode adjointe. Une attention particulière est accordée à la dérivation du modèle de turbulence adjoint et de la loi de paroi adjointe. La méthodologie adjointe est utilisée dans cette thèse pour répondre à deux objectifs particuliers. D'une part, nous étudions un cadre méthodologique permettant un diagnostic approfondi de la fermeture de turbulence. Cela va de l'analyse des champs adjointe à l'analyse de sensibilité des coefficients et ensuite à leur calibration. D'autres part, visant un couplage efficace entre le modèle et les données, nous considérons la méthode comme un outil de reconstruction de l’écoulement. Dans cette optique, nous avons considéré une assimilation dite sous contrainte faible par intégration de nouveaux termes permettant de corriger les erreurs de modélisation. En diagnostic, l'analyse de sensibilité a révélé un grand intérêt pour l'optimisation des coefficients davantage au niveau des couches de cisaillement résultant de la séparation et moins dans la région de sillage. Dans la calibration, la validité de certaines hypothèses de modélisation a été explorée en observant l'effet de relâchement des relations entre les coefficients. L'application de la contrainte qui assimile le mélange d'énergie de turbulence au mélange d'impulsion a conduit à un meilleur accord avec les données. Par ailleurs, il a été souligné qu'une telle fermeture de turbulence est trop rigide pour permettre à la solution s'écarter de son espace de base. En reconstruction, nous avons considéré des termes de forçage additif qui peuvent agir sur les équations de quantité de mouvement et/ou sur les équations de turbulence. Avec des observations parcimonieuses, le champ de sensibilité est généralement peu régulier pour des paramètres distribués, une projection sur un espace de fonctions plus régulières comme l'espace de Sobolev est proposée. Il a été démontré que cela conduit à une procédure d'assimilation des données très efficace car elle améliore la direction de descente et fournit un mécanisme de régularisation utile. En résultats, nous montrons que le forçage sur l'équation de la quantité de mouvement permet d'agir efficacement à proximité des capteurs pour corriger la pression, et se trouve en situation de sur-ajustement. Cela peut être amélioré en multipliant préalablement le forçage par le gradient de l'énergie cinétique. Au contraire, agir sur l'équation de transport du taux de dissipation de turbulences améliore la diffusion turbulente qui amène une réduction significative de la longueur de recirculation, mais avec une pénalité en termes de contrôlabilité. Enfin, nous montrons que des reconstructions d’écoulement plus précises peuvent être effectuées en combinant les deux stratégies.
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Mathématiques et leurs interactions
/ 23-03-2021
Li Long
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Cette thèse explore une représentation stochastique de l’effet des petites échelles sur la circulation océanique grande échelle. Ce modèle stochastique, appelé modélisation sous incertitude de position (LU), résulte d’une décomposition de la vitesse en une composante lisse en temps et d’un terme de bruit très oscillant. Trois avantages principaux de ce modèle aléatoire sont soulignés dans cette thèse: il introduit une structuration des écoulements à grande échelle par l’inhomogénéité du bruit; il fournit un système de prévision d’ensemble fiable et améliore la variabilité interne des modèles océaniques à résolution grossière. Nous avons d’abord dérivé plusieurs modèles dynamiques aléatoires à partir du calcul stochastique et des lois de conservation physique. Nous avons démontré que certains modèles aléatoires conservent l’énergie. Dans ces modèles, une vitesse statistique induite par les petits tourbillons, et associée à l’inhomogénéité du bruit, est interprétée comme une généralisation de la dérive de Stokes. Nous avons montré que la dynamique stochastique dérivée contient un terme de forçage dit “force vortex” qui conduit à l’émergence de circulations secondaires. Cet effet est illustré numériquement par le cas test simple d’une onde de Rossby barotrope. Nous avons ensuite proposé différents types de bruits - homogènes/hétérogènes et stationnaires/non stationnaires, en utilisant différentes méthodes - guidées par les données ou paramétrées. Pour les validations numériques nous avons utilisé une dynamique quasi-géostrophique surfacique pour étudier les capacités de prévision d’ensemble à court terme associés à différents modèles de bruit. En utilisant certaines métriques classique de prévision ensembliste, nous avons montré que les modèles LU fournissent une dispersion d’ensemble plus élevée ainsi que des prévisions plus fiables que les modèles aléatoires construits à partir de la perturbation de la condition initiale. De plus, nous avons conclu que les modèles de bruit hétérogènes sont meilleurs que les modèles homogènes et les modèles de bruit non-stationnaires plus performant que les modèles stationnaires. Dans ce travail, des simulations numériques des circulations double-gyres forcées par le vent sont également évaluées. Dans le cas barotrope, nous avons montré que les modèles LU permettent de reproduire qualitativement et quantitativement sur un maillage grossier la distribution statistique à temps long et à grande échelle des traceurs, prédite par les données de haute résolution. Dans le cas multicouche, nous avons montré que la dérive de correction sous-maille, résultant de la procédure de sous-échantillonnage des données s’avère être très importante pour reproduire le jet zonal sur un maillage grossier. Nous avons mis en évidence que les modèles LU améliorent à l’échelle climatique océanique la variabilité intrinsèque à basse fréquence du courant à grande échelle. Cette amélioration a été démontrée par l’analyse du transfert d’énergie et de certains critères statistiques.
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Mathématiques et leurs interactions
/ 18-12-2020
Pineda Escobar Jesús David
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Classiquement, en géométrie des tissus, on considère des familles de feuillages modulo difféomorphismes locaux et on les étudie via des invariants différentiels du pseudo-groupe de difféomorphismes. Dans ce travail on introduit la notion de feuilletages harmoniques et de 3-tissus harmoniques hexagonaux, nous développons des propriétés de base, fournissons des exemples et nous nous consacrons à l’étude locale des tissus harmoniques hexagonaux en changeant la structure du pseudo-groupe pour celle du pseudo-groupe des transformations conformes. Dans ce cadre, nous mettons en évidence une famille de dimension infinie (appelée générique) et que nous décrivons complètement. Ensuite, nous obtenons un résultat de finitude pour les 3-tissus harmoniques hexagonaux non génériques via relations abéliennes et à l’aide de logiciels de calcul symbolique. Enfin, nous construisons une classification complète de ces 3-tissus lorsque 2 feuilletages parmi 3 forment un angle constant.
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Mathématiques et leurs Interactions
/ 18-12-2020
Vu Thi Minh Phuong
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Soit X une variété rigide analytique lisse sur un corps non-archimédien complet de valuation discrète K de caractéristique mixte (0; p) et G un groupe p-adique qui agit continûment sur X. Le but de cette thèse est de développer une notion d'holonomicité faible pour des D-modules G-équivariants coadmissibles X. Nous donnerons dans ce qui suit un résumé pour chaque chapitre. Après avoir introduit la théorie des D-modules sur les espaces rigides analytiques et résumé les résultats principaux de la thèse dans le premier chapitre, nous rappelons dans le deuxième chapitre quelques notions et propriétés de base de la géométrie rigide analytique et du groupes de Lie p-adique, puis nous résumons quelques résultats importants de la théorie des D-modules
G-équivariant coadmissibles sur X. Dans le troisième chapitre, nous développons une théorie de dimension pour les D(X;G)-modules coadmissibles. Pour ce fait, nous montrons tout d'abord que la K-algèbre D(X;G) est coadmissiblement Auslander-Gorenstein de dimension au plus 2dimX. Ceci nous permet de définir correctement la fonction de dimension sur la catégorie des D(X;G)-modules coadmissibles. La quatrième partie de la thèse est consacrée la construction des foncteurs appelés Ext-foncteurs E^i pour tous i et aussi l'étude de l'holonomicité faible pour des D-modules G-équivariants coadmissibles. Dans la première partie de ce chapitre, nous allons travailler sur de nombreuses propositions techniques afin de définir, pour chaque i , le foncteur E^i sur la catégorie C des D-modules G-quivariant coadmissibles. Dans la deuxième partie du chapitre 4, nous définissons la notion de dimension d'un D-module G-équivariant coadmissible et nous prouvons que l'inégalité de Bernstein est vraie pour le cas des variétés de drapeaux rigides analytiques. Cela nous permet de définir une holonomicité faible dans ce cadre. Nous allons également montrer qu'il existe un foncteur de dualité D sur la catégorie des D-modules équivariants faiblement holonomes. Dans le dernier chapitre, nous présentons quelques exemples typiques de D-modules G-équivariants faiblement holonomes. Nous prouvons que l'extension de toute connexion intégrable équivariante est faiblement holonome. En particulier, nous montrons que le faisceau structural OX est un D- module G-équivariant faiblement holonæme. Le deuxième exemple vient du cas où X est une variété de drapeaux rigide analytique associée un groupe algébrique connexe déployé G sur K. Dans ce cas, nous montrons que la localisation d'un module d'Orlik-Strauch est un D-module G-équivariant faiblement holonome.
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Mathématiques et leurs interactions
/ 15-12-2020
Gordenko Anna
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Cette thèse concerne l'étude de dynamique aléatoire dans deux situations différentes : celle des tableaux de Young aléatoires et celle de la dynamique sur la droite réelle. La première partie est consacrée à l’étude de tableaux de Young aléatoires et de leur comportement limite. Il s’avère que la description locale d’un tableau de Young aléatoire de grande taille donnée est reliée à un nouveau processus, une modification de TASEP (Totally Asymmetric Simple Exclusion Process). Je détermine l'entropie topologique et la mesure d'entropie maximale de cette modification, qui se révèle être déterminantale. J’utilise cette description pour écrire le principe variationnel des tableaux de Young aléatoires, ainsi que pour retrouver les noyaux de processus de perles et pour donner une explication de l'apparition du processus de sinus sur le bord des diagrammes de Young aléatoires. La deuxième partie est consacrée à l’étude de systèmes dynamiques aléatoires sur la droite réelle. J’étudie la dualité entre le comportement dynamique des systèmes formés par une famille d'applications et par celui de leurs inverses. Il se révèle que sous des hypothèses assez faibles, il n'y a que quatre comportement possibles pour les couples formés par ces systèmes et leur inverse, ces comportements se décrivent selon l'existence d’une mesure stationnaire finie, infinie ou semi-infinie, et selon les propriétés de récurrence et de convergence des points vers l’infini.
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