Cette thèse est consacrée à l'étude du problème de l'uniformisation dans le cadre singulier. Plus précisément, on donne une caractérisation des paires singulières obtenues comme quotients d'espaces projectifs complexes. Ce résultat généralise les travaux de Greb, Kebekus et Peternell qui établissent une telle caractérisation pour les variétés singulières. Après avoir rappelé le formalisme des paires et la théorie de l'uniformisation dans ce cadre, nous donnons un critère qui permet d'assurer que le revêtement universel d'une paire est effectivement lisse. Celui-ci repose sur un résultat analogue au théorème de Zariski--Lipman pour les paires orbifoldes, et des considérations sur la platitude dans ce contexte. Ensuite, on étudie la bonne définition d'extension canonique d'une paire singulière. On introduit la notion d'extension canonique adaptée, qui mime la construction du faisceau des différentielles adaptées introduit par Miyaoka. On montre que ces faisceaux peuvent être interprétés comme des images inverses de faisceaux orbifolds. Ceci permet notamment de calculer effectivement les classes de Chern orbifoldes de ces objets.

Cette thèse étudie la géométrie de l’outre-espace non-twisté associé à un groupe d’Artin à angles droits A, construit par Charney, Stambaugh et Vogtmann en 2017. Il s’agit d’un espace classifiant K pour un sous-groupe d’indice fini du groupe U(A) des automorphismes extérieurs non-twistés de A. Sa structure simpliciale en fait un modèle à la fois combinatoire et géométrique de U(A). Après avoir rappelé les outils nécessaires et la construction originale de K (Chapitre 1), on commence par établir des propriétés des complexes cubiques CAT(0) associés à A, et de certaines applications d’écrasement d’hyperplans (Chapitre 2). Ceci nous permet au Chapitre 3 de proposer une reformulation géométrique et simplifiée de la construction de K. On utilise ce point de vue au Chapitre 4 pour exhiber des outre-espaces relatifs, qui classifient certains sous-groupes de McCool de U(A), apparaissant naturellement comme des stabilisateurs pour l’action de U(A) sur les classes de conjugaison de A. Enfin, au Chapitre 5, on étudie les symétries de K en tant que complexe simplicial. On propose des conditions suffisantes pour que ces symétries proviennent toutes de l’action de U(A), et on caractérise les cas où K a une structure de produit direct, en s’appuyant sur de nombreux exemples.

Ce manuscrit étudie des équations stationnaires permettant de modéliser des systèmes de turbulence dérivés des équations de Navier-Stokes, sur un domaine borné régulier. La principale difficulté provient de la forme particulière de la viscosité, qui s’annule au voisinage du bord. Des méthodes de compacité issues de l’analyse fonctionnelle permettent de prouver l’existence de solutions faibles, ce qui constitue une approche prometteuse de la situation physique, mais ne permet pas encore de la résoudre entièrement. Dans la suite, on énonce quelques résultats liés à la résolution d’équations simplifiées obtenues à partir du modèle de turbulence k − ε, en adaptant certains résultats de ces dernières décennies à notre cadre particulier.

Dans une première partie, à partir d’une équation d’évolution, on construit une famille de noyaux indexée par le temps qui permet de définir une famille d’espaces de fonctions (RKHS). On construit une famille d’opérateurs de Koopman qui permettent de passer d’un noyau initial (temps 0) au noyau au temps t. Pour décrire cet opérateur simplement, on cherche à diagonaliser un opérateur qui est relié. Dans une seconde partie, on montre que les équations stochastiques de Navier- Stokes LU qui dépendent d’un paramètre sur un ouvert borné en dimension 2 et 3 admettent des solutions faibles (solutions martingales), avec unicité en dimension 2. Puis on montre qu’une famille de solutions indexée par ce paramètre converge, lorsque ce paramètre tend vers 0, vers une solution de l’équation de Navier- Stokes déterministe. Dans une troisième partie, on fixe le paramètre précédent égal à 1, on souhaite voir une solution des équations de Navier-Stokes LU comme limite de solutions d’une nouvelle équation appelée Navier-Stokes avec advection aléatoire dépendant d’un paramètre.Pour cela on utilise la méthode de la fonction perturbée.

La thèse porte sur l’analyse spectrale des opérateurs pseudo-différentiels unidimensionnels et sur certains aspects de l’analyse microlocale analytique. Dans un premier temps, nous nous intéressons à la méthode de Helffer et Sjöstrand basée sur les estimées d’Agmon, donnant un équivalent optimal de la séparation des plus petites valeurs propres des opérateurs de Schrödinger symétriques. Nous étendons leur stratégie à une certaine classe d’opérateurs pseudo-différentiels, apparaissant par exemple après une réduction de dimension micro- locale du laplacien magnétique. La pierre angulaire de la preuve est que, grâce à la phase stationnaire et à l’inégalité de Fefferman-Phong, nous sommes en mesure de montrer que le comportement de ces opérateurs pseudo-différentiels est, en fait, proche de celui des opérateurs de Schrödinger. Dans la deuxième partie, nous plongeons dans la théorie des opérateurs intégraux de Fourier complexes, pour étudier le spectre de Bohr-Sommerfeld d’opérateurs pseudo-différentiels (dans le cas où les courbes d’énergie sont difféomorphes au cercle). Nous montrons qu’il est possible de trouver des quasimodes microlocaux exponentiellement précis (mais sous- optimaux) pour approximer les fonctions propres. Le fait que le développement semi-classique de la condition de quantification de Bohr-Sommerfeld soit donné par un symbole analytique classique avec une précision exponentielle était connu “en principe” par les experts du domaine comme une conséquence d'un travail de Gérard et Sjöstrand sur les résonances. Cependant, en utilisant des quasimodes exponentiellement précis, nous fournissons une preuve assez élémentaire. Dans les chapitres restants, nous mettons en œuvre une forme normale de Darboux-Carathéodory et élargissons les résultats à un cadre non auto-adjoint.

Cette thèse adresse les problématiques posées par les interactions non-linéaires entre les ondes internes et un écoulement turbulent. Nous proposons en particulier des méthodes pour l’estimation de ces ondes et des courants à partir de données altimétriques. Ces méthodes sont principalement déduites de la Proper Orthogonal Decomposition, permettant un couplage statistique de ces deux dynamiques.

Dans cette thèse, on s’intéresse à un produits de matrices indépendantes et de même loi. Étant donnée une suite aléatoire de matrices carrées, à coefficients réels, indépendantes et de même loi, on s’intéresse à la suite formée par les produits de gauche à droite des éléments de cette suite. Sous des hypothèses de forte irréductibilité et de proximalité dont on précisera le sens, on construit à l’aide d’un algorithme déterministe une suite aléatoire d’indices, dits temps pivots, qui sépare la suite de base en blocs dont les produits vérifient de bonnes propriétés d’alignement. On entend par là que la norme matricielle du produits de deux blocs consécutifs est minorée par le produit des normes de chaque blocs et d’une constante non aléatoire. Des propriétés de cette construction, que l’on énoncera plus en détail, on déduit une loi des grands nombre et des inégalités de grandes déviations par em dessous pour le premier trou spectral du produit. On montre aussi l’existence d’une mesure invariante sur l’espace projectif sans hypothèse d’inversibilité ainsi que la convergence exponentielle de toutes les classes projectives des colonnes de la matrice produit vers une limite aléatoire. Sous une hypothèse d’inversibilité, on montre une inégalité de concentration pour la classe projective du produit dont on déduit une loi des grands nombres pour les coefficients et pour le rayon spectral sous l’hypothèse optimale de moment d’ordre 1.

Une théorie générale des systèmes hybrides reste toujours prématurée, malgré le grand intérêt qui lui a été attribué. Souvent, nous considérons une sous classe spécifique des systèmes hybrides pour mener des études concises et obtenir des résultats pertinents. Dans cette thèse, nous sommes intéressés spécifiquement par l'existence et l'unicité de solutions pour un système de complémentarité linéaire. Ce dernier est en corrélation avec le problème de complémentarité linéaire. À cet égard, l'existence et l'unicité de solutions des deux problèmes est fortement liée à plusieurs classes de matrices comme les P et Q-matrices. Notre objectif principal est d'éclaircir la structure qui se cache derrière ces propriétés matricielles pour éventuellement analyser les solutions d'une manière efficace. L'objectif actuel de cette thèse est de caractériser la Q-matricité pour mieux comprendre l'aspect géométrique de la théorie de complémentarité. Par conséquent, nous mettons en évidence la nature inductive de la Q-matricité dans certains cas particuliers. De plus, nous énonçons une caractérisation des Q-matrices pour n=3 qui fournit un ensemble de test fini pour vérifier la Q-matricité dans l'espace. Enfin, nous examinons les séparations des paires de complementarité par des hyperplans de complémentarité pour énoncer des conditions nécessaires de la Q-matricité.

Cette thèse porte sur l’application du Machine Learning à l’étude d’équations différentielles fortement oscillantes. Plus précisément, on s’intéresse à une manière d’approcher de manière précise et avec le moins de calculs possible la solution d’une équation différentielle en s’aidant de réseaux de neurones. Tout d’abord, le cas autonome est étudié, où les propriétés de l’analyse rétrograde et des réseaux de neurones sont utilisés afin d’améliorer des méthodes numériques existantes, puis une généralisation au cas fortement oscillant est proposée afin d’améliorer un schéma numérique d’ordre un spécifique à ce cas de figure. Ensuite, les réseaux de neurones sont utilisés afin de remplacer les calculs préalables nécessaires à l’implémentation de méthodes numériques uniformément précises permettant d’approcher les solutions d’équations fortement oscillantes, que ce soit en partant des travaux mis en œuvre pour le cas autonome, ou bien en utilisant une structure de réseau de neurone intégrant directement la structure de l’équation.

L’objectif de cette thèse est de mieux comprendre les caractéristiques de la matière quantique qui rendent la gravitation quantique si difficile à atteindre. Dans le Chapitre 3, nous présentons deux modèles généraux de décohérence, sans spécifier aucun Hamiltonien. Le premier modèle fait apparaître naturellement la décohérence comme un phénomène géométrique entre deux réservoirs de dimensions. Le second modèle tente d’expliquer pourquoi, dans un univers où la décohérence est omniprésente, la matière n’est pas figée par l’effet Zénon quantique. Le Chapitre 4 est consacré au problème ontologique de la physique quantique, communément appelé « problème de la mesure ». Notre objectif n’est pas d’en fournir une solution, mais plutôt de formuler le problème indépendamment de toute interprétation de la mécanique quantique, à la lumière de la théorie de la décohérence. Dans le Chapitre 5, un nouvel ingrédient est introduit dans la discussion : l’espace-temps. Après avoir éclairci l’incompatibilité apparente entre la mécanique quantique et la relativité restreinte, nous présentons un programme de recherche et un modèle jouet en vue de définir une notion backgroundless de position au sein du formalisme quantique.