Cette thèse porte sur l’application du Machine Learning à l’étude d’équations différentielles fortement oscillantes. Plus précisément, on s’intéresse à une manière d’approcher de manière précise et avec le moins de calculs possible la solution d’une équation différentielle en s’aidant de réseaux de neurones. Tout d’abord, le cas autonome est étudié, où les propriétés de l’analyse rétrograde et des réseaux de neurones sont utilisés afin d’améliorer des méthodes numériques existantes, puis une généralisation au cas fortement oscillant est proposée afin d’améliorer un schéma numérique d’ordre un spécifique à ce cas de figure. Ensuite, les réseaux de neurones sont utilisés afin de remplacer les calculs préalables nécessaires à l’implémentation de méthodes numériques uniformément précises permettant d’approcher les solutions d’équations fortement oscillantes, que ce soit en partant des travaux mis en œuvre pour le cas autonome, ou bien en utilisant une structure de réseau de neurone intégrant directement la structure de l’équation.

Dans cette thèse, nous établissons rigoureusement des ponts entre les écoulements continument stratifiés et les écoulements multi-couches. Dans une première partie, nous considérons le système de Saint-Venant multi-couches avec un terme supplémentaire diffusif qui a un effet régularisant, dont la motivation provient des travaux des océanographes Gent & McWilliams sur le mélange isopycnal et la diffusivité des tourbillons, et qui pourrait être interprété comme un terme de turbulence. En exploitant la structure de ce système, nous obtenons un dictionnaire qui nous permet d'interpréter ce système multi-couches comme une discrétisation de la formulation en coordonnées isopycnales du système hydrostatique continument stratifié avec le terme diffusif de Gent & McWilliams ajouté de manière similaire. Nous montrons la convergence de la solution discrète vers la solution continue à mesure que le nombre de couches tend vers l'infini, et nous fournissons un taux de convergence explicite. Dans une deuxième partie, dans cette thèse, nous abordons la limite "inverse", nous montrons rigoureusement que, sous certaines conditions d'hyperbolicité et dans un cadre topologique bien choisi, la solution du système continument stratifié converge vers le système de Saint-Venant bi-couches dans la limite de stratification nette.

Dans ce manuscrit, nous étudions différents problèmes de turbulence de couches limites. La première partie décrit un modèle simple de couplage de deux fluides caractérisés par le même problème de Stokes incompressible stationnaire. Le système d'équation est notamment fermé par une condition de continuité à l'interface, qui peut être vu comme une condition limite d'un système caractérisé par une condition de Robin à l'interface. Des algorithmes de décomposition de domaine de type Schwarz permettent d'établir des simulations numériques de ce modèle. Enfin, un modèle plus complexe d'équations de Navier-Stokes stationnaires avec conditions au bord non-linéaires est également étudié et simulé numériquement. Dans une deuxième partie, on analyse des systèmes d'équations elliptiques scalaires à poids, typiques de sous-couches turbulentes. On établit notamment l'existence de solutions faibles et la correspondance avec la théorie de Monin-Obukhov.

Cette thèse achève la classification des sous-schémas en groupes paraboliques des groupes algébriques semi-simples sur un corps algébriquement clos, en particulier de caractéristique deux et trois. Dans un premier temps, nous présentons la classification en supposant que la partie réduite de ces sous-groupes soit maximale, avant de passer au cas général. Nous parvenons à une description quasiment uniforme : à l'exception d'un groupe de type G₂ en caractéristique deux, chaque sous-schémas en groupes parabolique est obtenu en multipliant des paraboliques réduits par des noyaux d'isogénies purement inséparables, puis en prenant l'intersection. En conclusion, nous discutons quelques implications géométriques de cette classification.

Dans cette thèse trois grands axes ont été étudiés. Le premier concerne le système de Vlasov-Poisson, pour lequel la convergence d'une méthode particulaire a été démontrée. Cette méthode particulaire fait en quelque sorte le lien entre les méthodes semi-lagrangiennes et celle du type PIC. La simplicité de cette méthode réside dans le fait qu'elle se base sur des briques existantes bien connues. Le second axe étudié traite de l'équation de Schrödinger. En se basant sur des travaux récents de Faou, Merle et Raphaël, un algorithme de modulation est proposé pour la simulation numérique de l'oscillateur harmonique. En utilisant le principe de Dirac-Frenkel, cet algorithme a pu être étendu au cas de l'équation de Schrödinger cubique non linéaire. Enfin, le troisième et dernier axe de cette thèse parle du problème de concentration spectrale, aussi appelé problème de Slepian. Des outils ont été mis en place pour étendre les travaux de Landau, Pollak et Slepian, et des soucis importants d'ordre numérique ont été illustrés. Un algorithme est proposé afin de résoudre approximativement le problème de façon plus robuste qu'une discrétisation directe.

Soit Z une surface de type fini et de caractéristique d'Euler strictement négative. Un courant géodésique sur Z est une mesure de Radon, stable par l'action du groupe fondamentale, sur les géodésiques non- orientées et bi-infinies du revêtement universel de Z. Cette notion a été introduite par F.Bonhaon en 1986 et a depuis eu de nombreuses applications à l'étude de la géométrie des surfaces. On s'intéresse ici à deux applications de cette notion: l'étude de la compactification de l'espace de Teichmüller et les problèmes de comptage de courbes. Le premier chapitre de ce manuscrit est dédié aux définitions et propriétés fondamentales nécessaires. Le chapitre 2 traite de la compactification de Thurston de l'espace de Teichmüller, en particulier, on prouve que la méthode de Bonahon par les courants géodésiques peut être adaptée aux surfaces non-compactes d'aire finie. Ce chapitre démontre aussi des résultats sur les suites de géodésiques aléatoires. Les deux chapitres suivant sont dédiés à des problèmes de comptage de géodésiques. Dans le chapitre 3 on montre que l'on peut compter les arcs d'une surface à bords à l'aide de suites convergentes de mesures sur les courants géodésiques. Puis, le chapitre 4 est dédié aux différentes ouvertures qu'offrent ce manuscrit. La principale étant le comptage des orbites pour l'action des sous-groupes du mapping class group sur les courbes.

Le sujet d'étude de cette thèse concerne l'analyse des arguments au sein des débats politiques. Nous avons utilisé des techniques d'intelligence artificielle pour identifier automatiquement les composants argumentaires au sein des débats politiques. Notre approche de ce sujet est pluridisciplinaire, englobant plusieurs domaines incluant : le traitement du langage naturel, l'extraction d'arguments, et l'analyse de graphes en utilisant les GNNs. Nous commençons par analyser les débats politiques des élections présidentielles françaises en construisant un corpus de débats français. Cela nous permet de mieux comprendre la complexité des tâches d'extraction d'arguments et les raisons pour lesquelles il est difficile de construire de très grands ensembles de données. Par la suite, nous nous sommes penchés sur les méthodes qui tirent parti des structures syntaxiques des phrases pour faciliter la formation de modèles d'IA sur de petits ensembles de données. Pour ce faire, nous avons exploré la théorie des graphes pour exploiter les arbres syntaxiques des phrases. Nous avons ensuite proposé une nouvelle méthode pour faciliter l'utilisation de divers jeu de données ayant des schéma d'annotation similaire lors de la formation d'un modèle pour l'identification des composants argumentaires. Enfin, nous avons développé une nouvelle approche basée sur l'algèbre de Boole pour construire une nouvelle architecture d'apprentissage machine mieux adaptée aux propriétés de dépendance des nœuds.

Dans cette thèse, nous étudions différents aspects du Distance Geometry Problem (DGP). Le DGP est un problème inverse dans lequel un ensemble de distances par paire est inversé pour trouver une structure dans un espace euclidien, étant donné une certaine dimension K. Nous nous concentrons principalement sur l’application de la biologie structurelle, où nous pouvons exploiter les distances inter-atomiques pour calculer les structures des protéines. Pour cette application, nous sommes en mesure de discrétiser l’espace de recherche à l’aide de méthodes de branchement et de découpage. Nous étendons la méthode pour utiliser non seulement les informations de distance, mais aussi les angles de torsion. Nous présentons des expériences utilisant des données NMR réelles avec des résultats prometteurs. Ensuite, nous nous penchons sur la géométrie dynamique des distances en nous concentrant sur les mouvements humains, jetant ainsi les bases de futurs projets qui pourraient se concentrer sur la modélisation de la dynamique des protéines. En outre, nous discutons des cartes adaptatives, qui sont un autre exemple d’application de la DG dans laquelle nous pouvons exploiter plus que les informations de distance. Enfin, nous terminons par un bref ré sumé et une description des travaux en cours.

Cette thèse est dédiée à des méthodes de simulation d'évènements rares et d'estimation de leurs probabilités. Nous nous concentrons sur des méthodes dites "particulaires" qui ont été développées depuis les années 50 : le principe est d'effacer successivement les particules trop éloignées de l'évènement rare étudié, et de les rebrancher sur les particules restantes. La première partie du manuscrit se concentre sur l'établissement d'un lien intrinsèque entre deux méthodes : un algorithme dénoté Sequential Monte Carlo et l'algorithme Adaptive Multi-level Splitting. Ainsi, nous montrons que ce dernier peut-être compris, dans un certain contexte, comme une limite du premier. Pour ce faire, nous détaillons un couplage entre les deux méthodes, avant de montrer la convergence de leurs points de branchement. Une fois cela terminé, cela nous apporte de nouvelles justifications pour prouver certaines propriétés sur les estimateurs, telles que le caractère sans biais. La seconde partie se concentre davantage sur l'algorithme AMS, avec seulement deux particules. Nous l'étudions alors dans un contexte "petit bruit" avec pour objectif de montrer la convergence des points de branchement vers une EDO déterministe. Pour ce faire, nous étudions un processus reconstruit, grâce à des arguments tels que le théorème de Girsanov et la h-transformation de Doob. Nous comparons ensuite l'EDO limite à celle donnée par la théorie de Freidlin-Wentzell qui correspond à la trajectoire "optimale".

L’optimisation convexe est fréquente en apprentissage automatique, statistiques, signal et image. La résolution de problèmes d'optimisation en grande dimension reste difficile en raison de contraintes calculatoires et de stockage. La dernière décennie, les méthodes de ''safe screening'' sont devenues un outil puissant pour réduire la dimension de ces problèmes en se basant sur la connaissance d'une ''safe region'' contenant la solution optimale duale. La première contribution de cette thèse est un cadre mathématique pour créer de nouvelles ''safe region'' tout en démontrant leur supériorité par rapport à l'état de l'art. Notre cadre offre également une manière élégante d’unifier les ''safe regions'' existantes. Cette contribution établit en particulier une base théorique pour les futures avancées dans l’étude des ''safe region''. La seconde contribution est une extension de la méthodologie de ''safe screening'' à des problèmes en dimension infinie. Nous montrons notamment que l’intégration de cette méthode dans un algorithme de l'état de l'art permet de réduire significativement sa complexité numérique tout en préservant sa propriété de convergence. Cette contribution met en évidence le potentiel du ''safe screening'' pour résoudre efficacement les défis calculatoires dans des contextes de dimension infinie.