Cette thèse présente une nouvelle approche de filtrage d'ensemble formulée dans un cadre d'espaces de Hilbert à noyau reproduisant (RKHS) évoluant dans le temps. En plongeant les observables dans ces RKHS, la méthodologie s'affranchit de l'hypothèse gaussienne classique et permet des reconstructions rigoureuses sous la forme de combinaisons linéaires des membres de l'ensemble, invariantes dans le temps. Une version localisée de cette méthode, fondée sur la définition de noyaux locaux, est proposée. Les performances de ces méthodes sont évaluées au moyen d'expériences de simulation de systèmes d'observation (OSSE) reposant sur un modèle quasi-géostrophique multicouche de l'Atlantique Nord. Les résultats démontrent que le filtre RKHS, en assimilant des données altimétriques (SSH), surpasse le filtre de Kalman d'ensemble transformé localisé (LETKF). L'approche proposée offre une précision accrue et une stabilité renforcée, en particulier dans les régimes à faible bruit où les méthodes standard tendent à diverger. Enfin, la localisation dégradant la cohérence physique des champs reconstruits, deux stratégies de régularisation sont introduites afin de lisser le gradient spatial des poids analysés.

Cette thèse traite d’interprétations stochastiques des modèles d’océan et de vague et de leur étude mathématique. Ces interprétations sont déduites du principe d’incertitude de position (LU, location uncertainty), qui est fondé sur la décomposition du mouvement Lagrangien en deux contributions, l’une cohérente et de grande échelle, l’autre décorrélée et de petite échelle. Cette approche fournit une version stochastique de la dérivée lagrangienne (ou matérielle), qui est ensuite utilisée pour établir des modèles stochastique à partir de lois de conservations. Après quelques rappels concernant le calcul stochastique et le formalisme LU, deux interprétations des équations primitives sont présentées. Elles sont établies à partir des équations de Navier-Stokes LU tridimensionnelles, par relâchement de l’hypothèse d’équilibre hydrostatique via le bruit. Une régularisation par filtration passe-bas de l’un des deux modèles est ensuite étudiée en détails, bien que d’autres régularisations soient mentionnées. Enfin, nous montrons que ce système régularisé constitue une approximation des équations de Navier-Stokes LU à l’ordre supérieur, comparé à l’hypothèse hydrostatique classique. Dans thématique assez différente, diverses interprétations LU des modèles vagues classiques sont proposées. Les modèles traités sont Saint-Venant, Boussinesq, Serre-Green-Naghdi et Water Waves. Les trois premiers sont élaborés “directement” à partir du formalisme LU, puis à partir des équations Water Waves dans les limites adéquates. Des simulations numériques sont ensuite réalisées pour évaluer qualitativement les propriétés de ces modèles.

Le but de cette thèse est de compactifier le feuilletage isomonodromique induit par l'équation Painlevé V. En particulier, nous analysons le comportement asymptotique des solutions de cette équation lorsque le paramètre de temps tend vers 0 ou l'infini. Pour ce faire, nous devons d’abord compactifier l’espace ambiant du feuilletage. Cet espace correspond à l’espace de modules d’une certaine classe de connexions méromorphes de rang deux sur la sphère de Riemann, présentant deux singularités régulières, ainsi qu’une singularité irrégulière d’ordre deux. La compactification que nous proposons étend et affine la compactification d’Okamoto en intégrant des composantes de bord liées au paramètre temporel égal à 0 ou l'infini. Nous interprétons les connexions limites comme des connexions sur des courbes nodales rationnelles irrégulières stables. De telles connexions se décomposent en connexions méromorphes plus simples, une pour chaque composante lisse de la courbe. Les données spectrales résiduelles de ces connexions en chaque noeud fournissent un intégrale première pour le champ Hamiltonien associé à l’équation de Painlevé V. Grâce à ces données, nous pouvons déterminer le comportement du feuilletage sur les composantes de bord.

L’optimisation du contrôle de l’aération dans les stations d’épuration est essentielle pour répondre aux objectifs économiques et environnementaux. Le développement de stratégies avancées reste freiné par la difficulté de calibrer des modèles prédictifs fiables à partir de données limitées, partielles et bruitées. Cette thèse propose un cadre méthodologique unifié, de la modélisation à la commande, fondé sur les modèles stochastiques à espace d’état et l’assimilation de données afin d’estimer les dynamiques du procédé, reconstruire les états latents et quantifier rigoureusement les incertitudes. L'étude comparative des diverses familles de modèles (mécanistes, boîtes grises, boîtes noires) et des stratégies de contrôle en temps réel aboutit à la sélection d'une architecture robuste, combinant un modèle non paramétrique et la Programmation Dynamique Stochastique. Cette solution est ensuite validée dans une simulation en boucle fermée réaliste et testée face à des perturbations non modélisées, telle que la variabilité de la charge polluante. Il est démontré que ce cadre réduit les coûts d’exploitation de 15 à 25 % tout en respectant les contraintes, y compris en l'absence d'information sur les perturbations externes. Enfin, l'étude démontre que la performance de la commande repose moins sur la quête d'une justesse prédictive absolue que sur la capacité du contrôleur stochastique à intégrer l'incertitude globale, y compris les perturbations non modélisées, dans sa politique de décision.

Le thème de cette dissertation est l’étude de certains problèmes issus de la théorie des singularités et de la théorie de Donaldson-Thomas motivique dans le contexte de la théorie de l’homotopie motivique (également appelée théorie de A¹ - homotopie). Le premier résultat principal est la construction de foncteurs motiviques de cycles évanescents à l’infini associés à des fonctions régulières. Nos constructions capturent des "informations cohomologiques " sur les singularités motiviques des fonctions régulières, et se réalisent en constructions dans des cadres virtuels (par exemple, les cycles évanescents à l’infini de M. Raibaut), qui capturent la "caractéristique d’Euler " de telles fonctions. La deuxième contribution est la preuve de l’identité intégrale de Kontsevich-Soibelman, qui établit les fondements de la théorie motivique de Donaldson-Thomas. Pour ce faire, nous prouvons une version généralisée du théorème de localisation hyperbolique de Braden pour les diagrammes d’espaces algébriques. Finalement, notre technique est nouvelle, en comparaison avec d’autres versions de cette conjecture, et plus important encore, notre résultat élimine la dépendance à la caractéristique 0 et se réalise dans d'autres contextes via des foncteurs de réalisation appropriés.

Ce manuscrit construit un modèle géométriquement exact de matériau micro-structuré en généralisant la notion de variétés de Riemann--Cartan. Le modèle repose sur l'interaction de deux échelles: une échelle macroscopique et une échelle microscopique. Leur couplage engendre des phénomènes émergents tels que les dislocations (torsion) et les disclinaisons (courbure). Le placement est décrit par un morphisme de fibrés du premier ordre F entre le corps micro-structuré B et l'espace ambiant micro-structuré E, permettant de tirer en arrière la géométrie de Riemann--Cartan de E sur B. Afin de permettre l'apparition de courbure, F n'est en général pas le gradient d'un placement ponctuel. Au cœur du modèle se trouve la notion nouvelle de pseudo-métrique qui, pour une structure microscopique linéaire, fournit simultanément une métrique macroscopique (analogue au tenseur de Cauchy--Green), une métrique microscopique, une forme de soudure couplant les deux échelles et une connexion (potentiellement affine). Une notion d'objectivité (isotropie de l'espace) est formalisée et les invariants associés sont calculés. Via le calcul variationnel, les équations d'Euler-Lagrange sont obtenues en dynamique et en statique. En découlent, dans le cas linéarisé, des EDPs de type Helmholtz reliant courbure et torsion, illustrées par des simulations numériques. Enfin, le modèle est appliqué à la mécanique des poutres élancées. Les modèles classiques de Timoshenko et d'Euler--Bernoulli apparaissent comme cas particuliers et une nouvelle famille continue de modèles obtenus par homogénéisations est proposée.

Cette thèse est consacrée à l'étude du problème de l'uniformisation dans le cadre singulier. Plus précisément, on donne une caractérisation des paires singulières obtenues comme quotients d'espaces projectifs complexes. Ce résultat généralise les travaux de Greb, Kebekus et Peternell qui établissent une telle caractérisation pour les variétés singulières. Après avoir rappelé le formalisme des paires et la théorie de l'uniformisation dans ce cadre, nous donnons un critère qui permet d'assurer que le revêtement universel d'une paire est effectivement lisse. Celui-ci repose sur un résultat analogue au théorème de Zariski--Lipman pour les paires orbifoldes, et des considérations sur la platitude dans ce contexte. Ensuite, on étudie la bonne définition d'extension canonique d'une paire singulière. On introduit la notion d'extension canonique adaptée, qui mime la construction du faisceau des différentielles adaptées introduit par Miyaoka. On montre que ces faisceaux peuvent être interprétés comme des images inverses de faisceaux orbifolds. Ceci permet notamment de calculer effectivement les classes de Chern orbifoldes de ces objets.

Dans cette thèse, nous avons étudié les codes tordus et leur utilisation en cryptographie. Dans un premier temps, nous avons étudié l'existence de codes tordus auto-duaux Hermitiens, proposé des méthodes pour les construire et établi une formule les énumérant. Nous avons notamment construit un code [68,34,18] auto-dual Hermitien sur F4 dont la distance minimale est supérieure à la meilleure distance connue pour les codes auto-duaux Hermitiens sur F4. Dans un second temps, nous avons proposé un algorithme de décodage en métrique de Hamming pour les codes constacycliques tordus, basé sur l'utilisation de mots de petit poids du dual. De plus, nous avons construit une famille de codes cycliques tordus qui est aussi une famille de codes de Reed-Solomon généralisés tordus, et nous avons développé un algorithme de décodage en métrique tordue pour cette famille de codes. Enfin, nous avons proposé et analysé une généralisation du cryptosystème de Loidreau basé sur les codes de Gabidulin qui forment une sous-famille des codes de Reed-Solomon généralisés tordus. Cette amélioration permet d'atteindre des paramètres qui étaient inaccessibles avec le schéma de Loidreau. Nous avons également proposé un nouveau schéma de chiffrement basé sur les codes de Reed-Solomon tordus en métrique somme-rang, et obtenu des tailles de clés compétitives par rapport à celles d'autres schémas bien connus.

Cette thèse présente trois problèmes dans le domaine des EDPs stochastiques singulières, qui sont des équations aux dérivées partielles où est incorporé un bruit aléatoire irrégulier et des opérations non linéaires mal définies et qui nécessitent alors un cadre analytique particulier et une procédure de renormalisation pour leur étude. Dans un premier temps on étudiera des EDP singulière de type McKean-Vlasov, c’est à dire des EDP aléatoires qui comprennent des termes dépendant de la loi de la solution. On démontrera le caractère bien posé de ces équations et un résultat de propagation du chaos. Ensuite on va chercher à décrire la structure de développements locaux de fonctions s’écrivant comme des paraproduits itérés en exhibant une structure de régularité les encodant. On obtiendra aussi un résultat de continuité de correcteurs d’ordre supérieur. On étudiera dans un dernier chapitre les propriétés d’unique continuation de l’opérateur d’Anderson continu singulier en dimension au plus 2.

Cette thèse étudie la géométrie de l’outre-espace non-twisté associé à un groupe d’Artin à angles droits A, construit par Charney, Stambaugh et Vogtmann en 2017. Il s’agit d’un espace classifiant K pour un sous-groupe d’indice fini du groupe U(A) des automorphismes extérieurs non-twistés de A. Sa structure simpliciale en fait un modèle à la fois combinatoire et géométrique de U(A). Après avoir rappelé les outils nécessaires et la construction originale de K (Chapitre 1), on commence par établir des propriétés des complexes cubiques CAT(0) associés à A, et de certaines applications d’écrasement d’hyperplans (Chapitre 2). Ceci nous permet au Chapitre 3 de proposer une reformulation géométrique et simplifiée de la construction de K. On utilise ce point de vue au Chapitre 4 pour exhiber des outre-espaces relatifs, qui classifient certains sous-groupes de McCool de U(A), apparaissant naturellement comme des stabilisateurs pour l’action de U(A) sur les classes de conjugaison de A. Enfin, au Chapitre 5, on étudie les symétries de K en tant que complexe simplicial. On propose des conditions suffisantes pour que ces symétries proviennent toutes de l’action de U(A), et on caractérise les cas où K a une structure de produit direct, en s’appuyant sur de nombreux exemples.