Sur la dynamique des endomorphismes des surfaces affines (On the dynamics of endomorphisms of affine surfaces) Abboud, Marc - (2023-07-07) / Université de Rennes - Sur la dynamique des endomorphismes des surfaces affines Accéder au document :  https://ged.univ-rennes1.fr/nuxeo/site/esupversion...

Langue : Anglais Directeur(s) de thèse:  Cantat, Serge; Xie, Junyi Discipline : Mathématiques et leurs interactions Laboratoire :  IRMAR Ecole Doctorale : MATISSE Classification : Mathématiques Mots-clés : Dynamique, dynamique arithméthique, géométrie algébrique Géométrie algébrique Endomorphismes (théorie des groupes)

Résumé : Une surface affine (sur un corps algébriquement clos) est une variété de dimension 2 définie par des équations polynomiales. Lorsqu’on se donne un endomorphisme d’une telle surface, on peut se poser les questions naturelles suivantes : y’a-t-il des orbites Zariski-denses ? Si l’orbite d’un point part à l’infini, peut-on contrôler sa vitesse de fuite ? Y’a-t-il beaucoup d’orbites périodiques ? Peut-on exhiber une mesure de probabilité invariante intéressante par le système dynamique ? Pour répondre à ces questions, j’utilise des techniques valuatives. Plus précisément un endomorphisme f d’une surface affine S induit une transformation de l’espace des valuations centrées à l’infini de S. L’étude de la dynamique de f sur cet espace de valuations permet de comprendre la dynamique de f sur S. Abstract : An affine surface (over an algebraically closed field) is a variety of dimension 2 defined by polynomial equations. Given an endomorphism of such a surface, we can ask the following questions: Are there Zariski dense orbits ? If the orbit of a point goes to infinity, can we control the speed of divergence ? Are there a lot of periodic orbits ? Can we exhibit an interesting probability measure invariant by the dynamical system ? To answer these questions, I use valuative techniques. More precisely, the endomorphism f of an affine surface S induces a self transformation of the space of valuations centered at infinity of S. The study of the dynamics of f over this space of valuations allows one to understand the dynamics of f over S.