| Contributions à l'étude du nombre de points rationnels des courbes sur les corps finis (Contributions to the study of the number of rational points of curves over finite fields) Pogildiakov, Ivan - (2022-06-27) / Universite de Rennes 1 - Contributions à l'étude du nombre de points rationnels des courbes sur les corps finis
| |||
Langue : Anglais Directeur(s) de thèse: Boucher, Delphine Discipline : Mathématiques et leurs interactions Laboratoire : IRMAR Ecole Doctorale : MATHSTIC Classification : Mathématiques Mots-clés : borne de Hasse-Weil-Serre, courbes hyperelliptiques, corps finis, codes binaires
| |||
Résumé : Cette thèse est consacrée a l’étude des bornes inférieures sur le genre des courbes hyperelliptiques sur un corps fini. Plus précisément, étant donné un entier N, nous demandons: quel est le nombre minimum G tel que pour tout g plus grand que G il existe une courbe hyperelliptique de genre g ayant exactement N points rationnels? La première partie du manuscrit traite des courbes sans points rationnels, c’est-à-dire lorsque N est égal à zéro. En utilisant certaines constructions explicites, nous établissons pour chaque caractéristique une nouvelle borne qui dépend linéairement de la taille du corps fini. Dans la deuxième partie, on considère le cas général. Ici, lorsque la caractéristique est impaire et que N est strictement positif, une nouvelle borne quasi-linéaire sur les genres est obtenue à l’aide de constructions implicites. La troisième partie complète les résultats théoriques ci-dessus. Nous proposons une nouvelle approche de la recherche informatique des courbes hyperelliptiques sur les petits corps finis de caractéristique impaire en exploitant la machinerie des codes linéaires binaires. Cette thèse a été réalisée sous la direction du Professeur Alexey Zykin à l’Université de Polynésie française (2015—2019) et la codirection du Professeur Michael A. Tsfasman (Institute for Information Transmission Problems, Moscou). Abstract : This thesis is devoted to the study of the lower existence bounds on the genus of hyperelliptic curves over a fixed finite field. More precisely, given an integer N, we ask: what is the minimum number G such that for any g bigger than G there is a genus g hyperelliptic curve having exactly N rational points? The first part of the manuscript deals with so called pointless curves, i.e. when N equals zero. Using some explicit constructions, for each characteristic we establish a new bound that depends linearly on the size of the ground finite field. In the second part one considers the general case. Here, when the characteristic is odd and N is strictly positive, a new quasilinear bound on the genera is obtained by means of implicit constructions. The third part completes the above theoretical results. We propose a new approach to the computer search of hyperelliptic curves over small finite fields of odd characteristic by exploiting the machinery of binary linear codes. This thesis was held under the direction of Professor Alexey Zykin at the University of French Polynesia (2015—2019) and the codirection of Michael A. Tsfasman (Institute for Information Transmission Problems, Moscow). | |||