| Dimension géométrique propre et espaces classifiants des groupes arithmétiques (Proper geometric dimension and classifying spaces for arithmetic groups) Lacoste, Cyril - (2018-06-15) / Universite de Rennes 1 - Dimension géométrique propre et espaces classifiants des groupes arithmétiques
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Langue : Français Directeur(s) de thèse: Souto, Juan Discipline : Mathématiques et leurs interactions Laboratoire : IRMAR Ecole Doctorale : MATHSTIC Classification : Mathématiques Mots-clés : espace classifiant, dimension géométrique propre, réseaux des groupes de Lie semisimples, groupe arithmétique, épine
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Résumé : Cette thèse a pour objet l'étude des espaces classifiants pour les actions propres d'un groupe discret. La dimension géométrique propre est la plus petite dimension possible pour un tel espace (qui existe toujours). Nous montrons tout d'abord que pour un réseau dans le groupe d'isométries d'un espace symétrique de type non-compact sans facteur euclidien, la dimension géométrique propre est égale à la dimension cohomologique virtuelle. La preuve utilise le fait que si le rang réel de l'espace est supérieur ou égal à 2 et le réseau est irréductible, alors il est arithmétique. Dans ce cas, nous pouvons calculer explicitement la dimension cohomologique virtuelle à l'aide du rang rationnel. Dans un deuxième temps, nous cherchons à construire concrètement des espaces classifiants pour les actions propres de dimension minimale. Nous essayons d'adapter la construction du "rétract bien équilibré" de Soulé et Ash (pour le cas SL(n,Z)) aux groupes arithmétiques Sp(2n,Z) et Aut(SL(n,Z)). Nous montrons qu'en fait cette construction ne s'étend pas. Abstract : In this thesis we study classifying spaces for proper actions of a discrete group. The proper geometric dimension is the smallest dimension of such a space (which always exists). Firstly we prove that for a lattice in the group of isometries of a symmetric space of the non-compact type without euclidean factors, the proper geometric dimension equals the virtual cohomological dimension. The proof relies on the fact that if the space has real rank at least 2 and if the lattice is irreducible, then it is arithmetic. In this case, the virtual cohomological dimension can be explicitly computed with the rational rank. Secondly we want to construct concretely classifying spaces for proper actions of minimal dimension. We try to adapt the construction of the "well-rounded retract" of Soulé and Ash (in the case SL(n,Z)) for the arithmetic groups Sp(2n,Z) and Aut(SL(n,Z)). We show that in fact this construction does not extend. | |||