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/ 07-06-2016
Sauzeau Julie
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Nous avons étudié un système différentiel régi par deux dynamiques : l'une de type variété centrale et l'autre de type oscillation rapide périodique. Nous avons cherché à obtenir des informations sur le comportement qualitatif du système et à l'approcher. Nous avons démontré l'existence d'une dynamique asymptotique rapidement oscillante et nous l'avons utilisée pour approcher le système. Ensuite, nous avons appliqué ces résultats à l'étude d'un système écologique d'interaction proie-prédateur. De plus, nous avons utilisé la théorie des B-séries pour obtenir des développements formels à tout ordre des quantités liées à la dynamique asymptotique. Enfin, nous avons approché le système pour tout temps par la composée d'un changement de variable et de la solution d'un système différentiel partiellement découplé.
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/ 16-12-2016
Ghammam Loubna
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Les couplages sont des outils mathématiques introduits par André Weil en 1948. Ils sont un sujet très en vogue depuis une dizaine d'années en cryptographie asymétrique. Ils permettent en effet de réaliser des opérations cryptographiques impossible à réaliser simplement autrement tel que la signature courte et la cryptographie basée sur l'identité. Ces dernières années, le calcul des couplages est devenu plus facile grâce à l'introduction de nouvelles méthodes de calculs mathématiques particulièrement efficaces sur les courbes elliptiques dites les courbes bien adaptées aux couplages. Aujourd'hui, nous sommes au stade de transfert de cette technologie, de la théorie vers la mise en œuvre pratique, sur des composants électroniques. Ce transfert soulève de nombreuses problématiques qui s'avèrent difficile à surmonter à cause de la différence de culture scientifique entre mathématiciens et micro-électroniciens. Dans le présent document, en premier lieu, nous avons étudié le problème de l'implémentation du couplage dans des environnements restreints. En effet, le calcul du couplage de Tate, ou aussi de l'une de ses variantes, nécessite plusieurs variables pour être implémenté, par conséquent, il nécessite une bonne partie de la mémoire du composant électronique sur lequel nous souhaitons implémenter un tel couplage.
Dans ce contexte, en faisant des optimisations mathématiques, nous avons pu implémenté ces couplages dans des environnements retreints. Le deuxième problème que nous avons traité dans cette thèse est celui de la sécurité des protocoles cryptographiques basés sur les couplages. Dans ce contexte, puisque les couplages sur les courbes elliptiques sont censés d'être matériellement attaqués, nous devons le protéger contre ces attaques. Nous avons étudié les attaques sur les couplages et nous avons proposé une contre-mesure.
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/ 31-10-2013
Lesage Éric
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Cette thèse est consacrée à l'utilisation d'information auxiliaire en théorie des sondages à l'étape de l'échantillonnage et à l'étape de l'estimation. Dans le chapitre 2, on donne une présentation des principales notions de la théorie des sondages. Au chapitre 3, on propose une extension de la famille des estimateurs par calage reposant sur l'emploi de paramètres de calage complexes. Au chapitre 4 et 5, on s'intéresse à la correction simultanée des erreurs d'échantillonnage et de non-réponse au moyen d'un calage unique. On montre qu'en dépit du fait que le calage n'utilise pas explicitement les probabilités de réponse, il est nécessaire d'écrire le modèle de réponse afin de choisir correctement la fonction de calage. A défaut, on s'expose à des estimateurs biaisés dont le biais peut dépasser le biais de l'estimateur non-ajusté. En particulier, dans le cas du calage généralisé, la variance et le biais sont amplifiés pour des variables de calage faiblement corrélées aux variables instrumentales. Au chapitre 6, on montre qu'une approche conditionnelle, par rapport au plan de sondage, permet de construire des estimateurs plus robustes aux valeurs extrêmes et aux "sauteurs de strates". Au chapitre 7, on met en évidence que la méthode du tirage réjectif de Fuller conduit un estimateur par la régression qui peut être biaisé lorsque la variable d'intérêt ne suit pas un modèle de régression linéaire en fonction des variables d'équilibrage.
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/ 24-06-2021
Mouzard Antoine
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Cette thèse porte sur le calcul paracontrôlé construit à l’aide du semi-groupe de la chaleur pour étudier différentes équations aux dérivées partielles stochastiques singulières sur des variétés riemanniennes compactes. En utilisant la formule de Calderón comme analogue continu à la décomposition de Paley-Littlewood, on peut construire un paraproduit dans un tel cadre géométrique. Il est alors possible de donner un sens à une large classe d’équations paraboliques semi-linéaires incluant les équations généralisées de KPZ en dimension 1+1 et du modèle parabolique d’Anderson en dimension 3. On montre ensuite que cette méthode peut être étendue pour la résolution des versions quasi-linéaires de ces équations en adaptant simplement les outils du calcul paracontrôlé et en généralisant la notion de système paracontrôlé à des familles infinies générées par une structure algébrique finie.Un autre problème abordé dans cette thèse est l’étude des opérateurs stochastiques singuliers comme l’hamiltonien d’Anderson, c’est-à-dire l’opérateur de Schrödinger avec comme potentiel un bruit blanc espace. Après une étape de renormalisation, le calcul paracontrôlé permet la définition de cet objet en tant qu’opérateur auto-adjoint à spectre discret. D’autres opérateurs sont aussi étudiés comme le laplacien magnétique avec un champ magnétique bruit blanc. L’étude de ce type d’opérateur permet la résolution d’équations d’évolutions associées ou l’étude de modèles aléatoires continus. On obtient ainsi des inégalités de Strichartz pour les équations de Schrödinger et des ondes avec un potentiel bruit blanc sur une surface compacte avec ou sans bord et on étudie les modèles de la mesure polymère en dimension 2 avec potentiel bruit blanc et la diffusion de Brox sur le cercle.
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/ 06-10-2015
Santatriniaina Nirina
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Dans la première partie on propose un outil mathématique pour traiter les conditions aux limites dynamiques d'un problème couplé d'EDP. La simulation avec des conditions aux limites dynamiques nécessite quelques fois une condition de "switch" en temps des conditions aux limites de Dirichlet en Neumann. La méthode numérique (St DN) a été validée avec des mesures expérimentales pour le cas de la contamination croisée en industrie micro-électronique. Cet outil sera utilisé par la suite pour simuler le phénomène de « self-heating » dans les polymères et les hydrogels sous sollicitations dynamiques. Dans la deuxième partie, on s'intéresse à la modélisation du phénomène de self-heating dans les polymères, les hydrogels et les tissus biologiques. D'abord, nous nous sommes focalisés sur la modélisation de la loi constitutive de l'hydrogel de type HEMA-EGDMA. Nous avons utilisé la théorie des invariants polynomiaux pour définir la loi constitutive du matériau. Ensuite, nous avons mis en place un modèle théorique en thermomécanique couplée d'un milieu continu classique pour analyser la production de chaleur dans ce matériau. Deux potentiels thermodynamiques ont été proposés et identifiés avec les mesures expérimentales. Une nouvelle forme d'équation du mouvement non-linéaire et couplée a été obtenue (un système d'équation aux dérivées partielles parabolique et hyperbolique non-linéaire couplé avec des conditions aux limites dynamiques). Dans la troisième partie, une méthode numérique des équations thermomécaniques (couplage parabolique-hyperbolique) pour les modèles a été utilisée. Cette étape nous a permis, entre autres, de résoudre ce système couplé. La méthode est basée sur la méthode des éléments finis. Divers résultats expérimentaux obtenus sur ce phénomène de self-heating sont présentés dans ce travail suivi d'une étude de corrélations des résultats théoriques et expérimentaux. Dans la dernière partie de ce travail, ces divers résultats sont repris et leurs conséquences sur la modélisation du comportement de l'hydrogel naturel utilisé dans le domaine biomédical sont discutées.
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/ 10-12-2018
Rouffort Clément
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Cette thèse est dédiée à l'étude mathématique de l'approximation de champ-moyen des gaz de bosons. En physique quantique une telle approximation est vue comme la première approche permettant d'expliquer le comportement collectif apparaissant dans les systèmes quantiques à grand nombre de particules et illustre des phénomènes fondamentaux comme la condensation de Bose-Einstein et la superfluidité. Dans cette thèse, l'exactitude de l'approximation de champ-moyen est obtenue de manière générale comme seule conséquence de principes de symétries et de renormalisations d'échelles. Nous recouvrons l'essentiel des résultats déjà connus sur le sujet et de nouveaux sont prouvés, particulièrement pour les systèmes quantiques sur réseau, incluant le modèle de Bose-Hubbard. D'autre part, notre étude établit un lien entre les équations aux hiérarchies de Gross-Pitaevskii et de Hartree, issues des méthodes BBGKY de la physique statistique, et certaines équations de transport ou de Liouville dans des espaces de dimension infinie. Résultant de cela, les propriétés d'unicité pour de telles équations aux hiérarchies sont prouvées en toute généralité utilisant seulement les caractéristiques génériques de problèmes aux valeurs initiales liés à de telles équations. Egalement, de nouveaux résultats de caractères bien posés et un contre-exemple à l'unicité d'une hiérarchie de Gross-Pitaevskii sont prouvés. L’originalité de nos travaux réside dans l'utilisation d'équations de Liouville et de puissantes techniques de transport étendues à des espaces fonctionnels de dimension infinie et jointes aux mesures de Wigner, ainsi qu'à une approche utilisant les outils de la seconde quantification. Notre contribution peut être vue comme l'aboutissement d'idées initiées par Z. Ammari, F. Nier et Q. Liard autour de la théorie de champ-moyen.
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/ 10-12-2013
Thomine Damien
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Ce travail est consacré à certaines classes de systèmes dynamiques ergodiques, munis d'une mesure invariante infinie, telles que des applications de l'intervalle avec un point fixe neutre ou des marches aléatoires. Le comportement asymptotique des sommes de Birkhoff d'observables d'intégrale non nulle est assez bien connu, pour peu que le système ait une certaine forme d'hyperbolicité. Une situation particulièrement intéressante est celle des tours au-dessus d'une application Gibbs-Markov. Nous cherchons dans ce contexte à étudier le cas d'observables d'intégrale nulle. Nous obtenons ainsi une forme de théorème central limite pour des systèmes dynamiques munis d'une mesure infinie. Après avoir introduit l'ensemble des notions nécessaires, nous adaptons des résultats de E. Csáki et A. Földes sur les marches aléatoires au cas des applications Gibbs-Markov. Les théorèmes d'indépendance asymptotique qui en découlent forment le cœur de cette thèse, et permettent de démontrer un théorème central limite généralisé. Quelques variations sur l'énoncé de ce théorème sont obtenues. Ensuite, nous abordons les processus en temps continu, tels que des semi-flots et des flots. Un premier travail consiste à étudier les propriété en temps grand du temps de premier retour et du temps local pour des extensions de systèmes dynamiques, ce qui se fait par des méthodes spectrales. Enfin, par réductions successives, nous pouvons obtenir une version du théorème central limite pour des flots périodiques, et en particulier le flot géodésique sur le fibré tangent unitaire de certaines variétés périodiques hyperboliques.
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/ 22-06-2021
Eid Elie
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Nous proposons dans cette thèse des algorithmes effectifs de calcul d’isogénies entre courbes elliptiques et Jacobiennes de courbes hyperelliptiques via l’approche des équation différentielles p-adiques avec un bon contrôle de précision. Plus précisément, nous nous intéressons dans un premier temps au calcul d’isogénies entre courbes elliptiques définies sur une extension de Q2. Ce travail vient ainsi compléter ceux réalisés pour le cas impair. Nous donnons quelques applications, en particulier le calcul d’isogénies entre courbes elliptiques sur des corps finis de caractéristique 2 et de polynômes irréductibles, tous deux en temps quasi-linéaire en le degré. Dans un second temps, nous présentons un algorithme de calcul explicite de représentations rationnelles d’isogénies entre Jacobiennes de courbes hyperelliptiques sur une extension de Qp. Par conséquent, après avoir éventuellement relevé le problème dans les p-adiques, nous obtenons des algorithmes efficaces pour le calcul d’isogénies entre Jacobiennes de courbes hyperelliptiques définies sur des corps finis de caractéristique impaire. Une autre application importante que nous en déduisons est le calcul des polynômes de Cantor de l-divisions. L’efficacité de ces algorithmes repose sur une analyse fine des solutions d’équations différentielles p-adiques.
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/ 06-07-2022
Gass Louis
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Dans cette thèse, nous nous intéressons aux ensembles nodaux aléatoires, c'est-à-dire au lieux d'annulation de fonctions à valeurs réelles, dépendantes également d'un paramètre aléatoire. Notre principal modèle d'intérêt est celui des ondes aléatoires riemanniennes. L'étude de ce modèle, ainsi que de son l'ensemble nodal, est motivé par de célèbres conjectures physiques et mathématiques, comme la conjecture de Berry et la conjecture de Yau. En dimension un, cette étude se réduit à celle des zéros des polynômes trigonométriques aléatoires. Elle s'inscrit dans la théorie plus générale des zéros de processus stochastiques unidimensionnels, elle aussi riche en applications : télécommunication, traitement du signal, etc.
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/ 07-07-2023
Abboud Marc
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Une surface affine (sur un corps algébriquement clos) est une variété de dimension 2 définie par des équations polynomiales. Lorsqu’on se donne un endomorphisme d’une telle surface, on peut se poser les questions naturelles suivantes : y’a-t-il des orbites Zariski-denses ? Si l’orbite d’un point part à l’infini, peut-on contrôler sa vitesse de fuite ? Y’a-t-il beaucoup d’orbites périodiques ? Peut-on exhiber une mesure de probabilité invariante intéressante par le système dynamique ? Pour répondre à ces questions, j’utilise des techniques valuatives. Plus précisément un endomorphisme f d’une surface affine S induit une transformation de l’espace des valuations centrées à l’infini de S. L’étude de la dynamique de f sur cet espace de valuations permet de comprendre la dynamique de f sur S.
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