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/ 08-12-2021
Trémant Léopold
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Les problèmes à relaxation rapide apparaissent dans de nombreux systèmes physiques ou biologiques, notamment dans le cadre de modèles cinétiques avec collisions. Leur comportement mélange une dynamique de relaxation de temps caractéristique epsilon et une partie lente d'interactions (généralement non-linéaire) ou de transport. Malgré le développement depuis les années 1980 de méthodes de résolution adaptées peu coûteuses (i.e. stables et essentiellement explicites), un problème demeure: la précision des méthodes est dégradée lorsque le pas de discrétisation est d'ordre epsilon. Dans ce manuscrit, on présente une méthode pour dépasser cette limite. L'approche mise en œuvre consiste à effectuer des développements asymptotiques par rapport au paramètre epsilon de sorte à pouvoir séparer le modèle asymptotique et son erreur; on parle alors d'un problème micro-macro. Ce nouveau problème peut être résolu numériquement et on reconstruit la solution du problème d'origine avec une précision indépendante du paramètre epsilon. Nos développements asymptotiques font appel à des résultats récents de moyennisation, si bien qu'un chapitre de ce manuscrit est dédié à l'exposition de preuves originales de certains résultats de moyennisation connus. On discute en outre d'extensions possibles de nos résultats.
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/ 05-10-2016
Lepoutre Alexandre
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Cette thèse s'intéresse à l'étude et au développement de méthodes de pistage mono et multicible en contexte Track-Before-Detect (TBD) par filtrage particulaire. Contrairement à l'approche classique qui effectue un seuillage préalable sur les données avant le pistage, l'approche TBD considère directement les données brutes afin de réaliser conjointement la détection et le pistage des différentes cibles. Il existe plusieurs solutions à ce problème, néanmoins cette thèse se restreint au cadre bayésien des Modèles de Markov Cachés pour lesquels le problème TBD peut être résolu à l'aide d'approximations particulaires. Dans un premier temps, nous nous intéressons à des méthodes particulaires monocibles existantes pour lesquels nous proposons différentes lois instrumentales permettant l'amélioration des performances en détection et estimation. Puis nous proposons une approche alternative du problème monocible fondée sur les temps d'apparition et de disparition de la cible; cette approche permet notamment un gain significatif au niveau du temps de calcul. Dans un second temps, nous nous intéressons au calcul de la vraisemblance en TBD -- nécessaire au bon fonctionnement des filtres particulaires -- rendu difficile par la présence des paramètres d'amplitudes des cibles qui sont inconnus et fluctuants au cours du temps. En particulier, nous étendons les travaux de Rutten et al. pour le calcul de la vraisemblance au modèle de fluctuations Swerling et au cas multicible. Enfin, nous traitons le problème multicible en contexte TBD. Nous montrons qu'en tenant compte de la structure particulière de la vraisemblance quand les cibles sont éloignées, il est possible de développer une solution multicible permettant d'utiliser, dans cette situation, un seule filtre par cible. Nous développons également un filtre TBD multicible complet permettant l'apparition et la disparition des cibles ainsi que les croisements.
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/ 22-09-2020
Hamlat Bastien
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Cette thèse concerne la modélisation mathématique des réactions cinétiques comprenant des phases pures. Dans le premier chapitre, un modèle de type EDOs discontinues pour la cinétique avec apparitions et disparitions d'espèces pour un nombre quelconque de minéraux est proposé. Une version régularisée du modèle permet de prouver la positivité et l’existence. Une analyse explicite plus approfondie dans le cas contenant une espèce réactive intermédiaire est menée. Dans le deuxième chapitre, une reformulation du modèle de cinétique chimique utilisant la théorie de Filippov est proposée. Une preuve de l'existence et de la positivité des solutions est réalisée. De plus, dans le cas des surfaces de discontinuité de codimension 1, une étude des configurations des champs fournit un résultat d'unicité et de caractérisation des trajectoires. Dans le troisième chapitre, un modèle de cinétique chimique de type systèmes dynamiques projetés est proposé. Une analyse de l'existence des solutions de ce modèle, des liens avec d'autres types de formulations et une méthode de résolution numérique adaptée sont proposés. Enfin, une illustration des résultats numériques obtenus est réalisée pour des systèmes de cinétique chimique.
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