Université de Rennes 1 Équations d'isomonodromie, solutions algébriques et dynamique Isomonodromy equations, algebraic solutions and dynamics. Équations différentiellesgéométrie analytiquedéformations isomonodromiquesconnexions logarithmiques plates mathematicsdifferential equationsanalytic geometryisomonodromic deformationslogarithmic flat connections Équations différentiellesThèses et écrits académiques Déformations isomonodromiques, Méthode desThèses et écrits académiques Géométrie analytiqueThèses et écrits académiques Une déformation isomonodromique d'une sphère épointée est une famille de connexions logarithmiques plates sur cette dernière ayant toutes, à conjugaison globale près, la même représentation de monodromie. Ces objets sont paramétrés par les solutions d'une certaine famille d'équations aux dérivées partielles, les systèmes de Garnier, qui sont équivalents dans le cas de la sphère à quatre trous aux équations de Painlevé VI. L'objet des travaux présentés ici est de construire de nouvelles solutions algébriques des ces systèmes dans le cas de la sphère à cinq trous. Dans une première partie, nous classifions les déformations isomonodromiques algébriques obtenues par restriction aux droites d'une connexion logarithmique plate sur le plan projectif complexe dont le lieu polaire est une courbe quintique. On obtient ainsi deux nouvelles familles de solutions algébriques du système de Garnier associé. Dans une deuxième partie, nous exploitons le fait qu'une déformation isomonodromique algébrique correspond à une orbite finie sous l'action du groupe modulaire sur la variété des caractères de la sphère à cinq trous pour obtenir de nouveaux exemples de telles orbites. Nous employons pour ce faire la convolution intermédiaire sur les représentations de groupes libres développée par Katz Enfin, nous décrivons une généralisation partielle de ce procédé au cas d'un tore complexe à deux trous. We call isomonodromic deformation any family of logarithmic flat connections over a punctured sphere having the same monodromy representation up to global conjugacy. These objects are parametrised by the solutions of a particular family of partial differential equations called Garnier systems, which are equivalent to the Painlevé VI equations in the four punctured case. The purpose of this thesis is to construct new algebraic solutions of these systems in the five punctured case. First, we give a classification of algebraic isomonodromic deformations obtained by restricting to lines some logarithmic flat connection over the complex projective plane whose singular locus is a quintic curve. We obtain two new families of algebraic solutions of the associated Garnier system. In a second part, we use the fact that any algebraic isomonodromic deformation corresponds to a finite orbit under the mapping class group action on the character variety of the five punctured sphere to obtain new examples of such orbits. We do this by using Katz's middle convolution on representations of free groups. Finally, we give a partial generalisation of this procedure in the case of a twice punctured complex torus. Electronic Thesis or DissertationText en application/save-as1 : 1499 Kohttps://ecm.univ-rennes1.fr/nuxeo/site/esupversions/297e486e-25b5-47f1-becd-b1074814a252 Girand Arnaud 1989-04-22 FR 197333176 arnaud.girand@ens-cachan.org 2016REN1S042 http://www.theses.fr/2016REN1S042 2016-08-31 Mathématiques et applications Universite de Rennes 1thesis.degree.grantor_1 02778715X Doctorat non ouiCantatSergeintervenant_1110729471LorayFrankintervenant_2061678112 MATISSEecoleDoctorale_1 139007164 Universite Bretagne LoirepartenaireRecherche_1 191639044 IRMAR partenaireRecherche_2 028233107 ddc:510 CantatSergeLorayFrankUniversite de Rennes 1Sciences et technologie, medecine, pharmacie, odontologie, droit, economie, gestion, philosophieMATISSEÉcole doctorale Mathématiques, informatique, signal, électronique et télécommunications (Rennes)Universite Bretagne Loire Communaute des etablissements d enseignement superieur et de recherche (ComuE) IRMAR ASCII PDF 1535265