Université de Rennes 1 Limite de champ moyen pour des modèles discrets et équation de Schrödinger non linéaire discrète Mean field limit for discrete models and nonlinear discrete Schrödinger equation Théorie du champ moyenProblème à N corpsÉquation de SchrödingerParticules de Bose-Einstein Mean-field theoryMany-body problemSchrödinger equationBosons Théorie du champ moyenThèses et écrits académiques Problème à N corpsThèses et écrits académiques Schrödinger, Équation deThèses et écrits académiques BosonsThèses et écrits académiques Dans une série de travaux Zied Ammari et Francis Nier ont développé des méthodes pour étudier la dynamique de champ moyen bosonique pour des états quantiques généraux pouvant présenter des corrélations. Ils ont obtenu des formules pour décrire la dynamique des corrélations, ou plus généralement des matrices densité réduites d'ordre arbitraire. Cette thématique a été largement développée ces dernières années. Norbert Mauser en a été un des contributeurs, ainsi que sur la notion de mesure de Wigner qui est la clé de l'analyse développée par Z. Ammari et F. Nier. En général, il est admis que l'asymptotique de champ moyen est une bonne approximation du problème à N particules quand N dépasse la dizaine. Cela concerne l'asymptotique de la matrice densité réduite à une particule qui ne décrit pas la dynamique des corrélations. Un objectif est de tester la validité de la dynamique de champ moyen pour les matrices densité réduites à 2-particules. Pour des tests numériques, les modèles discrets qui n'ont pas été vraiment traités en détail dans les travaux précédents de Z. Ammari et F. Nier semblent bien adaptés. La thèse comprendra donc plusieurs étapes: adapter les résultats précédents de Z. Ammari et F. Nier à des modèles discrets , développer des méthodes numériques pour des systèmes simples mais pertinents, permettant de valider l'approximation de champ moyen et les formules pour la dynamique des corrélations. Au niveau numérique, on utilise des schémas numériques symplectiques, développés spécifiquement ces dernières années pour la discrétisation des équations hamiltoniennes. Une dernière étape concerne la combinaison des deux asymptotiques, champ moyen et approximation des modèles continus par les modèles discrets. In a serie of works Z. Ammari and F. Nier developed methods to study the dynamics of bosonic mean field for general quantum states which can present correlations. They obtained formulas to describe the dynamics of the correlations, or more generally reduced density matrices with an arbitrary order. This topic was widely developed these last years. N.J. Mauser was one of contributors, as well as on the notion of Wigner measure which is the key of the analysis developed by Z. Ammari and F. Nier. Generally, the mean field asymptotic is admitted is a good approximation of the N-body problem when N exceed about ten. It concerns the asymptotics of the reduced density matrices for one particle which does not describe the dynamics of the correlations. An objective is to test the validity of the mean field dynamics for reduced density matrices for 2 particles. For numerical tests, the discrete models which were not really handled in detail in the previous works of Z. Ammari and F. Nier seem adapted well. The thesis will thus include several steps: adapt the previous results from Z. Ammari and F. Nier to discrete models , develop numerical methods, for simple but relevant systems, allowing to validate the approximation of mean field and the formulas for the dynamics of the correlations. About numerics, symplectic numerical scheme are used, developed specifically these last years for the discretization of the hamiltonian equations. A last possible step concerns the combination of both asymptotics, that is mean field and approximation of the continuous models by the discrete models. Electronic Thesis or DissertationText en image/pdf1 : 2825 Kohttps://ecm.univ-rennes1.fr/nuxeo/site/esupversions/23a022b2-b5b6-4e5a-a957-6ecdb890f700 Pawilowski Boris 1985-12-01 FR 194618323 borispaw@gmail.com 2015REN1S163 http://www.theses.fr/2015REN1S163 2015-12-11 Mathématiques et applications Université de Rennes 1thesis.degree.grantor_1 02778715X Universität Wienthesis.degree.grantor_2 028059700 Doctorat non ouiNierFrancisintervenant_108467458XMauserNorbertintervenant_2129669288 Mathématiques, informatique, signal, électronique et télécommunicationsecoleDoctorale_1 139007164 Université européenne de BretagnepartenaireRecherche_1 139075119 IRMAR partenaireRecherche_2 028233107 ddc:510 NierFrancisMauserNorbertUniversité de Rennes 1Sciences et technologie, médecine, pharmacie, odontologie, droit, économie, gestion, philosophieUniversität WienMathématiques, informatique, signal, électronique et télécommunicationsÉcole doctorale Mathématiques, informatique, signal, électronique et télécommunications (Rennes)Université européenne de Bretagne Pôle de recherche et d'enseignement supérieur de Bretagne IRMAR ASCII PDF 2892923