Université de Rennes 1 Formules d'addition sur les jacobiennes de courbes hyperelliptiques : application à la cryptographie Addition formulae on Jacobians of hyperelliptic curves : application to cryptography Cryptographie à clé publiquecouplagescourbes hyperelliptiquescouplagescalcul d'indexpublic key cryptographypairingshyperelliptic curvesindex calculus Cryptographie à clé publiqueThèses et écrits académiques Courbes elliptiquesThèses et écrits académiques Couplage, Théorie duThèses et écrits académiques Dans cette thèse, j'étudie deux aspects distincts de la cryptographie basée sur les courbes elliptiques et hyperelliptiques. Dans une première partie, je confronte deux méthodes de calcul de couplages, originales car ne reposant pas sur le traditionnel algorithme de Miller. Ainsi, dans [42], K. Stange calcula le couplage de Tate sur une courbe elliptique à partir d'un nouvel outil, les elliptic nets. Y. Uchida et S. Uchiyama généralisèrent ces objets au cas hyperelliptique ([47]), mais ne donnèrent un algorithme pour le calcul de couplages que dans le cas des courbes de genre 2. Mon premier travail dans cette thèse fut de donner cet algorithme pour le cas général. De leur côté, D. Lubicz et D. Robert donnèrent dans [28] une autre méthode de calcul de couplage, basée sur les fonctions thêta. Le second résultat de ma thèse est de réunifier ces deux méthodes : je montre que la formule de récurrence à la base des nets est une conséquence des formules d'addition des fonctions thêta utilisées dans l'algorithme de Lubicz et Robert. Dans la seconde partie de ma thèse, je me suis intéressé à l'algorithme de calcul d'index attaquant le problème du logarithme discret sur les courbes elliptiques et hyperelliptiques. Dans le cas elliptique, une des étapes principales de cette attaque repose sur les polynômes de Semaev. Je donne une nouvelle construction ces polynômes en utilisant la fonction sigma de Weierstrass, pour pouvoir ensuite les généraliser pour la première fois au cas hyperelliptique. In this thesis, I study two different aspects of elliptic and hyperelliptic curves based cryptography. In the first part, I confront two methods of pairings computation, whose original feature is that they are not based the traditional Miller algorithm. Therefore, in [42], K. Stange computed Tate pairings on elliptic curves using a new tool, the elliptic nets. Y. Uchida and S. Uchiyama generalized these objects to hyperelliptic case ([47]), but they gave an algorithm for pairing computation only for the genus 2 case. My first work in this thesis was to give this algorithm for the general case. Meanwhile, D. Lubicz and D. Robert gave in [28] an other pairing computation method, based on theta functions. The second result of my thesis is the reunification of these two methods : I show that the recurrence equation which is the basis of nets theory is a consequence of the addition law of theta functions used in the Lubicz and Robert’s algorithm. In the second part, I study the index calculus algorithm attacking the elliptic and hyperelliptic curve discrete logarithm problem. In the elliptic case, one of the main steps of this attack requires the Semaev polynomials. I reconstruct these polynomials using Weierstrass sigma function, with the purpose of giving their first hyperelliptic generalization. Electronic Thesis or DissertationText fr application/pdf1 : 795 Kohttps://ecm.univ-rennes1.fr/nuxeo/site/esupversions/0d8309b8-0e1e-4e5a-bd9d-548d3bcfb103 Tran Christophe 1985-07-22 FR 185903150 christophe.tran.crypto@gmail.com 2014REN1S153 http://www.theses.fr/2014REN1S153 2014-12-01 Mathématiques et applications Université de Rennes 1thesis.degree.grantor_1 02778715X Doctorat non ouiDuquesneSylvainintervenant_1060389311 Mathématiques, informatique, signal, électronique et télécommunicationsecoleDoctorale_1 139007164 IRMARpartenaireRecherche_1 028233107 Université européenne de BretagnepartenaireRecherche_2 139075119 ddc:510 DuquesneSylvainUniversité de Rennes 1Sciences et technologie, médecine, pharmacie, odontologie, droit, économie, gestion, philosophieMathématiques, informatique, signal, électronique et télécommunicationsÉcole doctorale Mathématiques, informatique, signal, électronique et télécommunications (Rennes)IRMARUniversité européenne de Bretagne ASCII PDF 814053