Université de Rennes 1 Théorie spectrale inverse pour les opérateurs de Toeplitz 1D Inverse spectral theory for 1D Toeplitz operators Analyse semi-classiqueanalyse microlocaleopérateurs de Toeplitzthéorie spectralequantification géométriquevariétés kählériennesformes normalesmécanique quantique Semiclassical analysismicrolocal analysisToeplitz operatorsspectral theorygeometric quantizationKähler manifoldsnormal formsquantum mechanics Analyse semiclassique Thèses et écrits académiques Théorie spectrale (mathématiques) Thèses et écrits académiques Toeplitz, Opérateurs de Thèses et écrits académiques Analyse microlocale Thèses et écrits académiques Quantification géométrique Thèses et écrits académiques Dans cette thèse, nous prouvons des résultats de théorie spectrale, directe et inverse, dans la limite semi-classique, pour les opérateurs de Toeplitz autoadjoints sur les surfaces. Pour les opérateurs pseudo-différentiels, les résultats en question sont déjà connus, et il est naturel de vouloir les étendre aux opérateurs de Toeplitz. Les conditions de Bohr-Sommerfeld usuelles, qui caractérisent les valeurs propres proches d'une valeur régulière du symbole principal, ont été obtenues il y a quelques années seulement pour les opérateurs de Toeplitz. Notre contribution consiste en l'extension de ces conditions près de valeurs critiques non dégénérées. Nous traitons le cas d'une valeur critique elliptique à l'aide d'une technique de forme normale ; l'opérateur modèle est la réalisation de l'oscillateur harmonique sur l'espace de Bargmann, dont le spectre est bien connu. Dans le cas d'une valeur critique hyperbolique, la forme normale ne suffit plus et nous complétons l'étude en faisant appel à des arguments dus à Colin de Verdière et Parisse, à qui l'on doit le résultat analogue dans le cas pseudo-différentiel. Enfin, nous établissons un résultat de théorie spectrale inverse pour les opérateurs de Toeplitz autoadjoints sur les surfaces ; plus précisément, nous montrons que sous certaines hypothèses génériques, la connaissance du spectre à l'ordre deux dans la limite semi-classique permet de retrouver le symbole principal à symplectomorphisme près. Ce résultat s'appuie en grande partie sur l'écriture des règles de Bohr-Sommerfeld. In this thesis, we prove some direct and inverse spectral results, in the semiclassical limit, for self-adjoint Toeplitz operators on surfaces. For pseudodifferential operators, these results are already known, and it is natural to expect their extension to the Toeplitz setting. The usual Bohr-Sommerfeld conditions, characterizing the eigenvalues close to a regular value of the principal symbol, have been obtained a few years ago for Toeplitz operators. Our contribution consists in extending these conditions near nondegenerate critical values. We handle the case of an elliptic value thanks to a normal form technique; the model operator is the realization of the harmonic oscillator in the Bargmann space, whose spectrum is well-known. In the case of a hyperbolic value, the normal form is no longer sufficient and we conclude by using additional arguments due to Colin de Verdière and Parisse, who derived the analogous result for pseudodifferential operators. Finally, we write an inverse spectral result for self-adjoint Toeplitz operators on surfaces; more precisely, we show that under some generic hypotheses, the knowledge of the spectrum up to order two in the semiclassical limit allows to recover the principal symbol up to symplectomorphism. This result essentially relies on Bohr-Sommerfeld rules. Electronic Thesis or DissertationText fren application/octetstream1 : 3590 Kohttps://ecm.univ-rennes1.fr/nuxeo/site/esupversions/8deac57d-e07c-45cd-a4f2-73b12d1124b2 Le Floch Yohann 1987-01-22 FR 180638882 yohann.lefloch@free.fr 2014REN1S031 http://www.theses.fr/2014REN1S031 2014-06-19 Mathématiques et applications Université de Rennes 1thesis.degree.grantor_1 02778715X Doctorat non ouiVu NgocSanintervenant_1116376074CharlesLaurentintervenant_2180642987 Mathématiques, informatique, signal, électronique et télécommunicationsecoleDoctorale_1 139007164 IRISApartenaireRecherche_1 026386909 Université européenne de BretagnepartenaireRecherche_2 139075119 ddc:510 Vu NgocSanCharlesLaurentUniversité de Rennes 1Sciences et technologie, médecine, pharmacie, odontologie, droit, économie, gestion, philosophieMathématiques, informatique, signal, électronique et télécommunicationsÉcole doctorale Mathématiques, informatique, signal, électronique et télécommunications (Rennes)IRISAUniversité européenne de Bretagne ASCII PDF 3676004