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| Effet tunnel quantique microlocal et estimées analytiques en une dimension (Microlocal quantum tunneling and analytic estimates in one dimension) Duraffour, Antide - (2024-12-04) / Université de Rennes - Effet tunnel quantique microlocal et estimées analytiques en une dimension
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Langue : Anglais Directeur(s) de thèse: Vũ Ngoc, San; Raymond, Nicolas Discipline : Mathématiques et leurs interactions Laboratoire : IRMAR Ecole Doctorale : MATISSE Classification : Mathématiques Mots-clés : Analyse Microlocale, Théorie Spectrale, Opérateurs non auto-adjoints, Bohr-Sommerfeld, Effet Tunnel, Quantique
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Résumé : La thèse porte sur l’analyse spectrale des opérateurs pseudo-différentiels unidimensionnels et sur certains aspects de l’analyse microlocale analytique. Dans un premier temps, nous nous intéressons à la méthode de Helffer et Sjöstrand basée sur les estimées d’Agmon, donnant un équivalent optimal de la séparation des plus petites valeurs propres des opérateurs de Schrödinger symétriques. Nous étendons leur stratégie à une certaine classe d’opérateurs pseudo-différentiels, apparaissant par exemple après une réduction de dimension micro- locale du laplacien magnétique. La pierre angulaire de la preuve est que, grâce à la phase stationnaire et à l’inégalité de Fefferman-Phong, nous sommes en mesure de montrer que le comportement de ces opérateurs pseudo-différentiels est, en fait, proche de celui des opérateurs de Schrödinger. Dans la deuxième partie, nous plongeons dans la théorie des opérateurs intégraux de Fourier complexes, pour étudier le spectre de Bohr-Sommerfeld d’opérateurs pseudo-différentiels (dans le cas où les courbes d’énergie sont difféomorphes au cercle). Nous montrons qu’il est possible de trouver des quasimodes microlocaux exponentiellement précis (mais sous- optimaux) pour approximer les fonctions propres. Le fait que le développement semi-classique de la condition de quantification de Bohr-Sommerfeld soit donné par un symbole analytique classique avec une précision exponentielle était connu “en principe” par les experts du domaine comme une conséquence d'un travail de Gérard et Sjöstrand sur les résonances. Cependant, en utilisant des quasimodes exponentiellement précis, nous fournissons une preuve assez élémentaire. Dans les chapitres restants, nous mettons en œuvre une forme normale de Darboux-Carathéodory et élargissons les résultats à un cadre non auto-adjoint. Abstract : We focus on the spectral analysis of one dimensional pseudo-differential operators and some aspects of analytic microlocal analysis. In the first chapter, we concentrate on the Helffer-Sjöstrand method, based on Agmon’s estimates, which provides an optimal exponential estimate for the separation of the smallest eigenvalues of symmetric Schrödinger operators. We extend their approach to a certain class of pseudo-differential operators (which are not differential operators), arising, for instance, after a microlocal dimensional reduction of the magnetic Laplacian. The cornerstone of the proof is that, thanks to the stationary phase method and the Fefferman-Phong inequality, we can show that these pseudo- differential operators, behave closely like electric Schrödinger operators. In the second part, we deal with the Bohr-Sommerfeld quantization condition of pseudo-differential operator (associated with regular energies) using complex Fourier integral operators. The fact that the semi-classical expansion of the Bohr-Sommerfeld eigenvalues is provided by a classical analytic symbol with exponential precision was known “in principle” to experts in the field as a consequence of Gérard and Sjöstrand’s work on resonances. However, using exponentially accurate quasimodes, we provide a fairly elementary proof, making the question of the optimality of exponential precision more accessible. In the remaining chapters, we implement a Darboux- Carathéodory normal form and extend the results to a non self-adjoint setting. | |||