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| Structures quasi-périodiques pour des modèles de transport non-linéaires issus de la mécanique des fluides (Quasi-periodic structures for nonlinear transport fluid models) Roulley, Emeric - (2022-09-02) / Universite de Rennes 1 - Structures quasi-périodiques pour des modèles de transport non-linéaires issus de la mécanique des fluides
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Langue : Anglais Directeur(s) de thèse: Hmidi, Taoufik Discipline : Mathématiques et leurs interactions Laboratoire : IRMAR Ecole Doctorale : MATHSTIC Classification : Mathématiques Mots-clés : Poches de tourbillon, Théorie KAM, Schéma de Nash-Moser, Solutions quasi-périodiques
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Résumé : Nous étudions l'existence de poches de tourbillon quasi-périodiques en temps pour les équations d'Euler et les équations quasi-geostrophic shallow-water (QGSW) qui sont deux modèles de transport non-linéaires et non-locaux bidimensionnels. Les poches sont des solutions faibles de la classe de Yudovich décrites par l'évolution de domaines planaires dont l'étude repose sur la dynamique de leur bord. Tout domaine initial radial fournit une solution stationnaire et il est naturel de se demander si l'on peut trouver, proche de ses points d'équilibre, des solutions périodiques ou quasi-périodiques. Le premier cas a été largement étudié par le passé via des techniques de bifurcation, et nous apportons ici un résultat dans cette lignée pour le cas des poches doublement-connexe en rotation uniforme pour les équations QGSW. Le second cas est moins évident et constitue le noyau dur de cette thèse. En utilisant les théories de KAM et de Nash-Moser, nous montrons que quitte à choisir un paramètre dans un ensemble admissible de type Cantor et de mesure presque pleine, il est possible de générer des poches quasi-périodiques proches des tourbillons de Rankine ; solutions stationnaires associées aux disques. Pour les équations QGSW, le rayon de Rossby joue le rôle de ce paramètre qui apparaît naturellement dans les équations. Pour les équations d'Euler dans le disque unité, la non-invariance par dilatation du modèle permet de créer un paramètre géométrique : le rayon des tourbillons de Rankine. Abstract : We study the existence of time quasi-periodic vortex patches for Euler and quasi-geostrophic shallow-water (QGSW) equations which are bidimensional nonlinear and nonlocal transport-type fluid models. Vortex patches are weak solutions in the Yudovich class described by the evolution of planar domains whose study relies on their boundary dynamics. Any radial initial domain provides a stationary solution and it is natural to ask whether we can find, close to these equilibrium points, periodic or quasi-periodic solutions. The first case has been widely studied in the past by using bifurcation theory, and here we give a result in this direction concerning the existence of doubly-connected uniformly rotating patches for QGSW equations. The second in less obvious and is the core of this thesis. By using KAM and Nash-Moser theories, we show that up to select a parameter among an admissible massive Cantor-like set, it is possible to construct quasi-periodic vortex patch solutions close to Rankine vortices ; stationary solutions associated with discs. For the QGSW equations, the Rossby radius plays the role of this parameter appearing naturally in the equations. For Euler equations set in the unit disc, the non-invariance by radial dilation allows to create a geometrical parameter : the radius of the Rankine vortices. | |||