Université de Rennes 1 Produits polarisés de courbes elliptiques à multiplication complexe et applications aux courbes de petit genre Polarized products of elliptic curves with complex multiplication and applications to the curves of small genus Variétés abéliennesréseaux hermitienscourbes optimalescorps de modulesmultiplication complexe Abelian varietieshermitian latticesoptimal curvesfield of modulicomplex multiplication Variétés abéliennes Courbes elliptiques Dans cette thèse je souhaite présenter certaines équivalences de catégories reliant les variétés abéliennes polarisées isogènes à un produit de courbes elliptiques à multiplication complexe. Une de ces équivalences concerne ces variétés sur les corps finis tandis que l'autre se place sur le corps des nombres complexes. Pour chacune d'elles nous présentons des applications à l'existence de certaines courbes algébriques de petit genre (g=2, 3 et 4). Dans le cas des corps finis nous nous servons de la théorie des fonctions thêta algébriques développée par David Mumford pour reconstruire des courbes optimales de genre 2 et 3 en calculant notamment l'obstruction de Serre en genre g=3. En genre 4 nous nous servons du calcul de la forme modulaire d'Igusa algébrique pour caractériser le lieu des jacobiennes, ce qui fournit une réponse partielle au problème de Schottky dans ce cas particulier. Nous nous en servons pour déterminer l'inexistence de certaines courbes optimales. Sur C nous nous servons d'une équivalence similaire pour classifier les classes d'isomorphisme des courbes algébriques de genre 2 et 3 ayant pour corps de module Q et dont la jacobienne est isomorphe au produit de courbes elliptiques à multiplication complexe par un ordre maximal. In the PhD thesis I study two equivalences of categories connecting polarized abelian varieties isogenous to a product of elliptic curves with complex mutliplication. One of these equivalences concerns abelian varieties over finite fields whereas the other one is over C. For each of them we propose applications to the existence of some curves of small genus (g=2, 3 or 4). In the finite fields case we use the theory of algebraic theta functions developped by David Mumford to compute equations of optimal curves of genus 2 and 3 by computing the Serre's obstruction for g=3. In genus 4 we use the algebraic version of the Igusa modular form to determine the Jacobian locus which gives a partial answer to the Schottky problem in this case. We then use it to determine the non existence of some optimal curves. Over C we use a similar equivalence of categories to classify the set servons d'une équivalence similaire pour classifier isomorphism classes of algebraic curves of genus 2 and 3 with field of moduli Q and whose Jacobian is isomorphic to the product of elliptic curves with complex multiplication by a maximal order. Electronic Thesis or DissertationText fr application/pdf1 : 14107 Kohttps://ged.univ-rennes1.fr/nuxeo/site/esupversions/eba7f4e1-378e-4c2c-a0a0-c505339aed0b Narbonne Fabien 1994-11-30 FR 266512720 fabien.narbonne@posteo.net 2022REN1S049 http://www.theses.fr/2022REN1S049 2022-09-08 Mathématiques et leurs interactions Universite de Rennes 1thesis.degree.grantor_1 02778715X Doctorat non ouiRitzenthalerChristopheintervenant_1089043642Lorenzo García‎Elisaintervenant_2255721765SijslingJeroenintervenant_5266513425KohelDavid R.intervenant_3070142726KaremakerValentijnintervenant_4266513182 MATHSTICecoleDoctorale_1 204770424 IRMAR partenaireRecherche_1 028233107 ddc:510 RitzenthalerChristopheLorenzo García‎ElisaKohelDavid R.KaremakerValentijnSijslingJeroenUniversite de Rennes 1Sciences et technologie, medecine, pharmacie, odontologie, droit, economie, gestion, philosophieMATHSTICÉcole doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes) IRMAR ASCII PDF 14445315