| Codes tordus, dualité et décodage : application à la cryptographie (Skew codes, duality and decoding: application to cryptography) Nouetowa, Kayodé Épiphane - (2025-07-07) / Université de Rennes - Codes tordus, dualité et décodage : application à la cryptographie
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Langue : Français Directeur(s) de thèse: Boucher, Delphine; Loidreau, Pierre Discipline : Mathématiques et leurs interactions Laboratoire : IRMAR Ecole Doctorale : MATISSE Classification : Mathématiques Mots-clés : Codes tordus, décodage, métrique somme-rang, cryptographie
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Résumé : Dans cette thèse, nous avons étudié les codes tordus et leur utilisation en cryptographie. Dans un premier temps, nous avons étudié l'existence de codes tordus auto-duaux Hermitiens, proposé des méthodes pour les construire et établi une formule les énumérant. Nous avons notamment construit un code [68,34,18] auto-dual Hermitien sur F4 dont la distance minimale est supérieure à la meilleure distance connue pour les codes auto-duaux Hermitiens sur F4. Dans un second temps, nous avons proposé un algorithme de décodage en métrique de Hamming pour les codes constacycliques tordus, basé sur l'utilisation de mots de petit poids du dual. De plus, nous avons construit une famille de codes cycliques tordus qui est aussi une famille de codes de Reed-Solomon généralisés tordus, et nous avons développé un algorithme de décodage en métrique tordue pour cette famille de codes. Enfin, nous avons proposé et analysé une généralisation du cryptosystème de Loidreau basé sur les codes de Gabidulin qui forment une sous-famille des codes de Reed-Solomon généralisés tordus. Cette amélioration permet d'atteindre des paramètres qui étaient inaccessibles avec le schéma de Loidreau. Nous avons également proposé un nouveau schéma de chiffrement basé sur les codes de Reed-Solomon tordus en métrique somme-rang, et obtenu des tailles de clés compétitives par rapport à celles d'autres schémas bien connus. Abstract : In this thesis, we studied skew codes and their use in cryptography. First, we studied the existence of Hermitian self-dual skew codes, proposed methods for constructing them and established a formula enumerating them. In particular, we constructed a [68,34,18] Hermitian self-dual code on F4 whose minimum distance is greater than the best known distance for Hermitian self-dual codes on F4. Secondly, we proposed a Hamming metric decoding algorithm for skew constacyclic codes, based on the use of small weight words of the dual. In addition, we constructed a family of skew cyclic codes that is also a family of skew generalised Reed-Solomon codes, and we developed a skew metric decoding algorithm for this family of codes. Finally, we proposed and analysed a generalisation of the Loidreau's cryptosystem based on the Gabidulin codes, which form a sub-family of the skew generalised Reed-Solomon codes. This improvement makes it possible to reach parameters that were inaccessible with Loidreau's scheme. We have also proposed a new encryption scheme based on skew Reed-Solomon codes in sum-rank metric, and obtained key sizes that are competitive with those of other well-known schemes. | |||