| Études d'équations aux dérivées partielles stochastiques singulières : une exploration de trois problèmes (Three problems in singular stochastic partial differential equations) Moench, Nicolas - (2025-06-30) / Université de Rennes - Études d'équations aux dérivées partielles stochastiques singulières : une exploration de trois problèmes
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Langue : Anglais Directeur(s) de thèse: Debussche, Arnaud; Bailleul, Ismaël Discipline : Mathématiques et leurs interactions Laboratoire : IRMAR Ecole Doctorale : MATISSE Classification : Mathématiques Mots-clés : EDP stochastiques singulières, Modèles de Champs moyen, Opérateurs aléatoires singuliers, Structures de régularité
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Résumé : Cette thèse présente trois problèmes dans le domaine des EDPs stochastiques singulières, qui sont des équations aux dérivées partielles où est incorporé un bruit aléatoire irrégulier et des opérations non linéaires mal définies et qui nécessitent alors un cadre analytique particulier et une procédure de renormalisation pour leur étude. Dans un premier temps on étudiera des EDP singulière de type McKean-Vlasov, c’est à dire des EDP aléatoires qui comprennent des termes dépendant de la loi de la solution. On démontrera le caractère bien posé de ces équations et un résultat de propagation du chaos. Ensuite on va chercher à décrire la structure de développements locaux de fonctions s’écrivant comme des paraproduits itérés en exhibant une structure de régularité les encodant. On obtiendra aussi un résultat de continuité de correcteurs d’ordre supérieur. On étudiera dans un dernier chapitre les propriétés d’unique continuation de l’opérateur d’Anderson continu singulier en dimension au plus 2. Abstract : This thesis presents three problems in the field of singular stochastic PDEs, which are partial differential equations incorporating irregular random noise and ill-defined nonlinear operations and which therefore require a particular analytical framework and renormalisation procedure for their study. Initially, we will study singular PDEs of the McKeanVlasov type, i.e. random PDEs that include terms depending on the law of the solution. We will demonstrate the well-posedness of these equations and a result of chaos propagation. Then we will try to describe the structure of local developments of functions written as iterated paraproducts by exhibiting a regularity structure encoding them. We will also obtain a result on the continuity of higher-order correctors. Finally, we will study the unique continuation properties of the continuous singular Anderson operator in dimension 2 at most. | |||