| Contributions to rare event splitting algorithms (Contributions aux méthodes de séparation pour les évènements rares) Ernoult, François - (2023-12-15) / Université de Rennes Contributions to rare event splitting algorithms
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Langue : Anglais Directeur(s) de thèse: Rousset, Mathias Discipline : Mathématiques et leurs interactions Laboratoire : IRMAR Ecole Doctorale : MATISSE Classification : Mathématiques Mots-clés : Évènements rares, simulation, méthode particulaires, algorithme AMS
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Résumé : Cette thèse est dédiée à des méthodes de simulation d'évènements rares et d'estimation de leurs probabilités. Nous nous concentrons sur des méthodes dites "particulaires" qui ont été développées depuis les années 50 : le principe est d'effacer successivement les particules trop éloignées de l'évènement rare étudié, et de les rebrancher sur les particules restantes. La première partie du manuscrit se concentre sur l'établissement d'un lien intrinsèque entre deux méthodes : un algorithme dénoté Sequential Monte Carlo et l'algorithme Adaptive Multi-level Splitting. Ainsi, nous montrons que ce dernier peut-être compris, dans un certain contexte, comme une limite du premier. Pour ce faire, nous détaillons un couplage entre les deux méthodes, avant de montrer la convergence de leurs points de branchement. Une fois cela terminé, cela nous apporte de nouvelles justifications pour prouver certaines propriétés sur les estimateurs, telles que le caractère sans biais. La seconde partie se concentre davantage sur l'algorithme AMS, avec seulement deux particules. Nous l'étudions alors dans un contexte "petit bruit" avec pour objectif de montrer la convergence des points de branchement vers une EDO déterministe. Pour ce faire, nous étudions un processus reconstruit, grâce à des arguments tels que le théorème de Girsanov et la h-transformation de Doob. Nous comparons ensuite l'EDO limite à celle donnée par la théorie de Freidlin-Wentzell qui correspond à la trajectoire "optimale". Abstract : This thesis is dedicated to the study of rare event simulation methods and estimation of their probabilities. We focus on so-called "particular" methods which have been developped during the 50s : the principle is to successively erase the particles which are away from the rare event, and to re-branch them on the remaining ones. The first part focuses on establishing an inherent link between two methods : an algorithm so-called Sequential Monte Carlo and the algorithm Adaptive Multi-level Splitting. Thus, we prove that the latter may be understood, in a specific context, as the limit of the former. To do this, we detail a coupling between the both methods, right before we prove the convergence of their branching points. Once this is done, this provides us new arguments to prove some properties about the estimators, such as the unbiasedness property. The second part focuses on the AMS algorithm, with only two particles. We work in a "small noise" context and we aim at proving the convergence of the branching points toward a deterministic ODE. To do this, we study a re-built process, with arguments such that Girsanov theorem and Doob h-transform. We then compare the limit ODE to the one given by the Freidlin-Wentzell theory, which is the "optimal" trajectory". | |||