| Structures projectives méromorphes, opers et monodromie (Meromorphic projective structures, opers and monodromy) Sérandour, Titouan - (2022-12-15) / Universite de Rennes 1 - Structures projectives méromorphes, opers et monodromie
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Langue : Anglais Directeur(s) de thèse: Loray, Frank Discipline : Mathématiques et leurs interactions Laboratoire : IRMAR Ecole Doctorale : Mathématiques et Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication Classification : Mathématiques Mots-clés : Riemann, Surfaces de, Groupes de monodromie, Matrices de Stokes, Feuilletages (mathématiques), Connexions (mathématiques), Espaces de modules
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Résumé : Les structures projectives complexes considérées dans cette thèse sont des courbes compactes localement modelées sur CP¹. À un tel objet géométrique, modulo isomorphisme, l’application de monodromie associe un objet algébrique : une représentation de son groupe fondamental dans PGL(2;C), modulo conjugaison. Cette correspondance n’est ni surjective, ni injective. Néanmoins, c’est un difféomorphisme local (Hejhal, 1975). Nous généralisons ce théorème aux structures projectives admettant des pôles – sans singularité apparente et à résidus fixés – et déduisons que l’application de monodromie correspondante est un biholomorphisme local. Une telle structure projective détermine un unique PGL(2;C)-oper méromorphe à diviseur des pôles minimal sur la courbe complexe sous-jacente. Les PGL(2;C)-opers peuvent être définis comme classes d’équivalence de GL(2;C)-opers, et nous montrons que ces derniers peuvent être plongés dans un espace de modules lisse de connexions linéaires de rang 2 paraboliques. La correspondance de Riemann-Hilbert irrégulière devient alors un ingrédient essentiel de notre travail. Nous construisons une famille analytique de PGL(2;C)-opers et utilisons les déformations isomonodromiques (et iso-Stokes) ainsi qu’un argument de transversalité à la Ehresmann pour conclure à l’injectivité locale de l’application de monodromie. Abstract : The complex projective structures considered is this thesis are compact curves locally modeled on CP1. To such a geometric object, modulo isomorphism, the monodromy map associates an algebraic one: a representation of its fundamental group into PGL(2;C), modulo conjugacy. This correspondence is neither surjective nor injective. Nonetheless, it is a local diffeomorphism (Hejhal, 1975). We generalize this theorem to projective structures admitting poles – without apparent singularity and with fixed residues – and deduce that the corresponding monodromy map is a local biholomorphism. Such a projective structure determines a unique meromorphic PGL(2;C)-oper with minimal polar divisor on the underlying complex curve. PGL(2;C)-opers can be defined as equivalence classes of GL(2;C)-opers, which we show can be embedded into a smooth moduli space of parabolic rank 2 linear connections. The irregular Riemann-Hilbert correspondence then turns out to be a key ingredient in our work. We construct an analytic family of PGL(2;C)-opers and use isomonodromic (and iso-Stokes) deformations together with an Ehresmann transversality argument to show the local injectivity of the monodromy map. | |||