| Conditions géométriques pour la contrôlabilité d'équations aux dérivées partielles linéaires (Geometric conditions for the controllability of linear partial differential equations) Martin, Jérémy - (2022-07-06) / Universite de Rennes 1 - Conditions géométriques pour la contrôlabilité d'équations aux dérivées partielles linéaires
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Langue : Français Directeur(s) de thèse: Pravda-Starov, Karel Discipline : Mathématiques et leurs interactions Laboratoire : IRMAR Ecole Doctorale : MATHSTIC Classification : Mathématiques Mots-clés : Théorie du contrôle, Équations aux dérivées partielles, Contrôlabilité, Observabilité, Espaces de Gelfand-Shilov
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Résumé : Le sujet de cette thèse a trait à la recherche de conditions géométriques pour la contrôlabilité d'équations aux dérivées partielles linéaires posées sur l'espace euclidien. Les approches adoptées dans ce manuscrit consistent à établir des inégalités d'observabilité à partir de principes d'incertitude. Dans une première partie, nous étudions des équations purement diffusives, telles que les équations de la chaleur fractionnaires, et mettons en exergue l'importance de la condition d'épaisseur pour assurer leur contrôlabilité. Un large pan de nos travaux est consacré à la contrôlabilité d'équations d'évolution dont les systèmes adjoints régularisent dans des espaces de Gelfand-Shilov, comme les équations d'évolution associées à l'oscillateur harmonique ou à des opérateurs de Shubin anisotropes. Ces résultats sont obtenus en établissant de nouvelles inégalités spectrales pour des combinaisons linéaires finies de fonctions de Hermite et de nouveaux principes d'incertitude s'appliquant dans des espaces de Gelfand-Shilov généraux. Les équations de Schrödinger libre et harmonique sont également étudiées et des conditions géométriques nécessaires et suffisantes pour leur contrôlabilité sont données. Abstract : The subject of this thesis deals with the research of geometric conditions to ensure the controllability of linear partial differential equations posed on the Euclidean space. The strategies adopted in this manuscript consist in obtaining observability inequalities from some uncertainty principles. In a first part, we study purely diffusive equations, such as fractional heat equations, and point out the relevance of the thickness condition to ensure their controllability. A large part of our works is devoted to the controllability of evolution equations whose adjoint systems enjoy smoothing effects in Gelfand-Shilov spaces, such as evolution equations associated to the harmonic oscillator or anisotropic Shubin operators. These results are obtained from new spectral estimates for finite combinations of Hermite functions and new uncertainty principles holding in general Gelfand-Shilov spaces. Free and harmonic Schrödinger equations are also studied and necessary and sufficient geometric conditions to ensure their controllability are given. | |||