| Un calcul paracontrôlé pour les EDP stochastiques singuliers sur les variétés : vers l'infini et au-delà (A paracontrolled calculus for singular stochastic PDEs on manifold : to infinity and beyond) Mouzard, Antoine - (2021-06-24) / Universite de Rennes 1 - Un calcul paracontrôlé pour les EDP stochastiques singuliers sur les variétés : vers l'infini et au-delà
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Langue : Anglais Directeur(s) de thèse: Bailleul, Ismaël Discipline : Mathématiques et leurs interactions Laboratoire : IRMAR Ecole Doctorale : MATHSTIC Classification : Mathématiques Mots-clés : EDP stochastiques singulières, renormalisation, Analyse stochastique
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Résumé : Cette thèse porte sur le calcul paracontrôlé construit à l’aide du semi-groupe de la chaleur pour étudier différentes équations aux dérivées partielles stochastiques singulières sur des variétés riemanniennes compactes. En utilisant la formule de Calderón comme analogue continu à la décomposition de Paley-Littlewood, on peut construire un paraproduit dans un tel cadre géométrique. Il est alors possible de donner un sens à une large classe d’équations paraboliques semi-linéaires incluant les équations généralisées de KPZ en dimension 1+1 et du modèle parabolique d’Anderson en dimension 3. On montre ensuite que cette méthode peut être étendue pour la résolution des versions quasi-linéaires de ces équations en adaptant simplement les outils du calcul paracontrôlé et en généralisant la notion de système paracontrôlé à des familles infinies générées par une structure algébrique finie.Un autre problème abordé dans cette thèse est l’étude des opérateurs stochastiques singuliers comme l’hamiltonien d’Anderson, c’est-à-dire l’opérateur de Schrödinger avec comme potentiel un bruit blanc espace. Après une étape de renormalisation, le calcul paracontrôlé permet la définition de cet objet en tant qu’opérateur auto-adjoint à spectre discret. D’autres opérateurs sont aussi étudiés comme le laplacien magnétique avec un champ magnétique bruit blanc. L’étude de ce type d’opérateur permet la résolution d’équations d’évolutions associées ou l’étude de modèles aléatoires continus. On obtient ainsi des inégalités de Strichartz pour les équations de Schrödinger et des ondes avec un potentiel bruit blanc sur une surface compacte avec ou sans bord et on étudie les modèles de la mesure polymère en dimension 2 avec potentiel bruit blanc et la diffusion de Brox sur le cercle. Abstract : This thesis presents the paracontrolled calculus built with the heat semigroup to study different singular stochastic partial differential equations on compact Riemannian manifolds. Using the Calderón formula as a continuous analogue of the Paley-Littlewood decomposition, we can construct a paraproduct in such geometrical framework. It is then possible to give a sense to a large class of semilinear parabolic equations including the generalised KPZ equation in dimension 1+1 and the generalised parabolic Anderson model equation in dimension 3. We show that this method can be extended to deal with the quasilinear version of these equations by a simple adaptation of the paracontrolled calculus and by generalizing the notion of paracontrolled systems to infinite families generated by a finite algebraic structure. Another problem tackled in this thesis is the study of singular stochastic operators such as the Anderson Hamiltonian, that is the Schrödinger operator with as potential a space white noise. After a renormalisation step, paracontrolled calculus allows the definition of this object as a self-adjoint operator with discrete spectrum. Other operators are also studied such as the magnetic Laplacian with white noise magnetic field. Study of this type of operators allows the resolution of associated evolution equations or the study of continuous random models. We thereby obtain Strichartz inequalities for the Schrödinger and wave equations with a white noise potential on compact surfaces with or without boundary and we study the models of the polymer measure in two dimensions with white noise potential and the Brox diffusion on the circle. | |||