| Étude algébrique des systèmes d'équations différentielles polynomiales d'ordre arbitraire (Algebraic study of systems of polynomial differential equations) Haiech, Mercedes - (2020-12-07) / Universite de Rennes 1 - Étude algébrique des systèmes d'équations différentielles polynomiales d'ordre arbitraire
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Langue : Français Directeur(s) de thèse: Bourqui, David; Sebag, Julien Discipline : Mathématiques et leurs interactions Laboratoire : IRMAR Ecole Doctorale : MATHSTIC Classification : Mathématiques Mots-clés : Algèbre différentielle, géométrie algébrique, système d'équations algébriques, géométrie tropicale
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Résumé : Dans cette thèse, plusieurs axes d'études dont le dénominateur commun est l'algèbre différentielle ont été suivis pour mettre en lumière certaines propriétés algébriques des systèmes d'équations différentielles. Dans une partie nous nous sommes interessée à la surdétermination des systèmes d'équations différentielles linéaires ordinaires et avons produit un algorithme permettant de trouver les générateurs d'un tel système. Une autre partie se penche sur la compréhension du support de solutions d'équations différentielles partielles à l'aide d'outils issus de la géométrie tropicale. Dans une troisième partie, nous nous intéressons à l'objet géométrique décrit par l'ensemble des solutions d'une équation différentielle ordinaire et mettons en relation l'existence de composantes singulières essentielles pour l'équation différentielle considérée et la décroissance de la dimension de l'espace tangent de cet objet calculé au voisinage de solutions non dégénérées. En particulier, cette étude implique de se pencher sur la complétion d'anneaux non noethériens ; cette situation et les pathologies afférentes sont par ailleurs au coeur de deux autres parties de cette thèse. Abstract : In this thesis, several lines of study whose common denominator is differential algebra have been followed to highlight some algebraic properties of systems of differential equations. In one part we have been interested in the overdetermination of ordinary linear differential equation systems and have produced an algorithm to find the generators of such a system. Another part deals with the understanding of the support of partial differential equation solutions using tools from tropical geometry. In a third part, we were interested in the geometrical object described by the set of solutions of an ordinary differential equation and relate the existence of singular essential components for the considered differential equation and the decrease of the dimension of the tangent space of this object calculated at the neighborhood of non-degenerated solutions. In particular, this study involves looking at completion of non-Netherian rings; this situation and the related pathologies are also at the heart of two other parts of this thesis. | |||