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/ 23-10-2015
Savel Charles
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A une représentation de p-torsion du groupe de Galois absolu d'un corps p-adique, M. Kisin associe un espace de modules, appelé par la suite variété de Kisin par G. Pappas et M. Rapoport. Ces variétés ont été introduites afin de démontrer plusieurs résultats de modularité sur les représentations galoisiennes. Elles se sont révélées utiles également pour construire certains anneaux de déformations voire les calculer. Plus récemment elles ont été utilisées pour munir le champ des représentations galoisiennes de torsion d'une structure algébrique. Par ailleurs ces variétés ressemblent formellement aux variétés de Deligne-Lusztig affines. En particulier leur définition s'étend dans le cadre de la théorie des groupes réductifs. Dans cette thèse, nous étudions la dimension de certaines variétés de Kisin dans le cas de la restriction des scalaires à la Weil du groupe linéaire général GLd. En nous basant sur des méthodes issues du cadre Deligne-Lusztig et en suivant les travaux de E. Viehmann et X. Caruso, nous définissons une stratification de la variété de Kisin. Nous encadrons ensuite la dimension des strates, puis étudions le problème de la maximisation de la dimension sur l'ensemble des strates. Cela permet de démontrer des encadrements pour la dimension des variétés de Kisin considérées. Comme dans le cas des variétés de Deligne-Lusztig affines, la somme des racines positives intervient dans l'encadrement de la dimension.
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/ 03-11-2015
Oudet Salomé
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Cette thèse porte sur l'étude de problèmes de contrôle optimal sur des réseaux (c'est-à-dire des ensembles constitués de sous-régions reliées entre elles par des jonctions), pour lesquels on autorise différentes dynamiques et différents coûts instantanés dans chaque sous-région du réseau. Comme dans les cas plus classiques, on aimerait pouvoir caractériser la fonction valeur d'un tel problème de contrôle par le biais d'une équation de Hamilton-Jacobi-Bellman. Cependant, les singularités géométriques du domaine, ainsi que les discontinuités des données ne nous permettent pas d'appliquer la théorie classique des solutions de viscosité. Dans la première partie de cette thèse nous prouvons que les fonctions valeurs de problèmes de contrôle optimal définis sur des réseaux 1-dimensionnel sont caractérisées par de telles équations. Dans la seconde partie les résultats précédents sont étendus au cas de problèmes de contrôle définis sur une jonction 2-dimensionnelle. Enfin, dans une dernière partie, nous utilisons les résultats obtenus précédemment pour traiter un problème de perturbation singulière impliquant des problèmes de contrôle optimal dans le plan pour lesquels les dynamiques et les coûts instantanés peuvent être discontinus à travers une frontière oscillante.
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/ 08-12-2015
Leboucher Guillaume
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Cette thèse présente des travaux originaux dans le domaine des méthodes de moyennisation d'ordre élevé. On s'intéresse notamment à des procédures de moyennisation dite stroboscopique ou quasi-stroboscopique dans des espaces de Banach ou de Hilbert. Ces procédures sont ensuite appliquées à des exemples concrets: des équations d'évolutions hautement oscillantes. Plus précisément, on montre dans un premier temps un résultat de moyennisation stroboscopique dans un espace de Banach où l'on obtient des estimations d'erreurs exponentielles. Ce théorème est ensuite appliqué sur deux équations des ondes semi-linéaire hautement oscillantes. On montre également que la Stroboscopic Averaging Method s'applique à une équation des ondes semi-linéaire avec conditions de Dirichlet. On trouve enfin numériquement, une dynamique intéressante de l'équation des ondes semi-linéaire mise en lumière par la procédure de moyennisation. Dans un second temps, on présente un théorème de moyennisation quasi-stroboscopique dans un espace de Hilbert quelconque avec des estimations d'erreurs exponentielles. Ce théorème est alors appliqué de façon indirecte à une équation de Schrödinger semi-linéaire oscillante. Cette équation est d'abord projeté dans un espace de dimension finie pour qu'on puisse lui appliquer le théorème de moyennisation quasi-stroboscopique. On écrit alors un résultat de moyennisation quasi-stroboscopique pour l'équation de Schrödinger semi-linéaire avec des estimations d'erreur polynomiales.
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/ 11-12-2015
Pawilowski Boris
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Dans une série de travaux Zied Ammari et Francis Nier ont développé des méthodes pour étudier la dynamique de champ moyen bosonique pour des états quantiques généraux pouvant présenter des corrélations. Ils ont obtenu des formules pour décrire la dynamique des corrélations, ou plus généralement des matrices densité réduites d'ordre arbitraire. Cette thématique a été largement développée ces dernières années. Norbert Mauser en a été un des contributeurs, ainsi que sur la notion de mesure de Wigner qui est la clé de l'analyse développée par Z. Ammari et F. Nier. En général, il est admis que l'asymptotique de champ moyen est une bonne approximation du problème à N particules quand N dépasse la dizaine. Cela concerne l'asymptotique de la matrice densité réduite à une particule qui ne décrit pas la dynamique des corrélations. Un objectif est de tester la validité de la dynamique de champ moyen pour les matrices densité réduites à 2-particules. Pour des tests numériques, les modèles discrets qui n'ont pas été vraiment traités en détail dans les travaux précédents de Z. Ammari et F. Nier semblent bien adaptés. La thèse comprendra donc plusieurs étapes: adapter les résultats précédents de Z. Ammari et F. Nier à des modèles discrets , développer des méthodes numériques pour des systèmes simples mais pertinents, permettant de valider l'approximation de champ moyen et les formules pour la dynamique des corrélations. Au niveau numérique, on utilise des schémas numériques symplectiques, développés spécifiquement ces dernières années pour la discrétisation des équations hamiltoniennes. Une dernière étape concerne la combinaison des deux asymptotiques, champ moyen et approximation des modèles continus par les modèles discrets.
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/ 07-06-2016
Sauzeau Julie
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Nous avons étudié un système différentiel régi par deux dynamiques : l'une de type variété centrale et l'autre de type oscillation rapide périodique. Nous avons cherché à obtenir des informations sur le comportement qualitatif du système et à l'approcher. Nous avons démontré l'existence d'une dynamique asymptotique rapidement oscillante et nous l'avons utilisée pour approcher le système. Ensuite, nous avons appliqué ces résultats à l'étude d'un système écologique d'interaction proie-prédateur. De plus, nous avons utilisé la théorie des B-séries pour obtenir des développements formels à tout ordre des quantités liées à la dynamique asymptotique. Enfin, nous avons approché le système pour tout temps par la composée d'un changement de variable et de la solution d'un système différentiel partiellement découplé.
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/ 23-06-2016
Riquelme Felipe
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Dans ce mémoire, nous étudions l'entropie des systèmes dynamiques différentiables définis sur des variétés riemanniennes non compactes. Dans un premier temps, nous éclaircissons les liens entre différentes notions d'entropie dans ce cadre non compact. Ensuite, nous utilisons ces premiers résultats pour y étudier la validité de l'inégalité de Ruelle. Rappelons ici que cette inégalité, pour des difféomorphismes de variétés riemanniennes compactes, nous dit que l'entropie est majorée par la somme des exposants de Lyapounov positifs. Nous montrons que, lorsque nous enlevons l'hypothèse de compacité, l'inégalité de Ruelle n'est pas toujours satisfaite. Nous obtenons ce résultat en construisant une famille explicite de contre-exemples. En revanche, nous montrons, dans le cas d'un difféomorphisme de comportement asymptotique linéaire, ou du flot géodésique sur le fibré unitaire tangent d'une variété riemannienne à courbure négative, que l'inégalité de Ruelle est toujours satisfaite. Pour finir, nous nous intéressons au problème de la perte possible de masse d'une suite de mesures de probabilité d'une variété riemannienne non compacte. Dans le cas du flot géodésique, nous montrons que l'entropie permet de contrôler la masse d'une limite vague de mesures de probabilité invariantes par le flot pour une classe particulière de variétés géométriquement finies. Plus précisément, nous montrons qu'une suite de mesures d'entropie assez grande ne peut pas perdre la totalité de sa masse. De plus, le minorant optimal de l'entropie dans ce résultat est lié à la géométrie de la partie non compacte de la variété: c'est l'exposant critique maximal des sous-groupes paraboliques du groupe fondamental.
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/ 29-06-2016
Bouguet Florian
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L'objet de cette thèse est d'étudier une certaine classe de processus de Markov, dits déterministes par morceaux, ayant de très nombreuses applications en modélisation. Plus précisément, nous nous intéresserons à leur comportement en temps long et à leur vitesse de convergence à l'équilibre lorsqu'ils admettent une mesure de probabilité stationnaire. L'un des axes principaux de ce manuscrit de thèse est l'obtention de bornes quantitatives fines sur cette vitesse, obtenues principalement à l'aide de méthodes de couplage. Le lien sera régulièrement fait avec d'autres domaines des mathématiques dans lesquels l'étude de ces processus est utile, comme les équations aux dérivées partielles. Le dernier chapitre de cette thèse est consacré à l'introduction d'une approche unifiée fournissant des théorèmes limites fonctionnels pour étudier le comportement en temps long de chaînes de Markov inhomogènes, à l'aide de la notion de pseudo-trajectoire asymptotique.
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/ 05-07-2016
Éon Richard
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Cette thèse porte sur l'étude d'équations différentielles de type frottement, c'est à dire d'équations de type attractive, avec un unique point stable 0, caractérisant la vitesse d'un objet soumis à une force de frottement. La vitesse de cet objet subit des perturbations aléatoires de type Lévy. Dans une première partie, nous nous intéressons aux propriétés fondamentales de ces EDS : existence et unicité de la solution, caractère markovien et ergodique de celle-ci et plus particulièrement le cas des processus de Lévy stable.
Dans un deuxième partie, nous étudions la stabilité de la solution de ces EDS lorsque la perturbation est un processus de Lévy stable qui tend vers 0. En effet, nous démontrons l'existence d'un développement limité d'ordre un autour de la solution déterministe pour la vitesse et la position de l'objet.
Dans une troisième partie, nous étudions le comportement asymptotique des solutions lorsque la vitesse initiale est nulle et que la perturbation est un processus de Lévy stable symétrique. Nous prouvons dans cette partie que l'accumulation de perturbations entraîne un comportement asymptotique gaussien de la position de l'objet, à condition que l'indice de stabilité du processus de Lévy et la croissance du potentiel soient suffisamment grand.
Dans une quatrième partie, nous levons l'hypothèse de symétrie de la perturbation en démontrant le même résultat que dans la troisième partie mais avec une dérive. Pour cela, nous étudions tout d'abord la queue de distribution de la mesure invariante associée à la vitesse de l'objet.
Enfin dans une dernière partie, nous nous intéressons au résultat de la troisième partie lorsque la perturbation est la somme d'un mouvement brownien et d'un processus de Lévy purement à sauts. Puis nous commençons l'étude de la dimension deux en traitant le cas où les équations sont découplées mais où les mouvement brownien directeurs sont dépendants.
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/ 11-07-2016
Vital Clément
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Le but de cette thèse était d'explorer la thématique du scoring dans le cadre de son utilisation dans le monde bancaire, et plus particulièrement pour contrôler le risque de crédit. En effet, la diversification et la globalisation des activités bancaires dans la deuxième moitié du XXe siècle ont conduit à l'instauration d'un certain nombre de régulations, afin de pouvoir s'assurer que les établissements bancaires disposent de capitaux nécessaires à couvrir le risque qu'ils prennent. Cette régulation impose ainsi la modélisation de certains indicateurs de risque, dont la probabilité de défaut, qui est pour un prêt en particulier la probabilité que le client se retrouve dans l'impossibilité de rembourser la somme qu'il doit. La modélisation de cet indicateur passe par la définition d'une variable d'intérêt appelée critère de risque, dénotant les "bons payeurs" et les "mauvais payeurs". Retranscrit dans un cadre statistique plus formel, cela signifie que nous cherchons à modéliser une variable à valeurs dans {0,1} par un ensemble de variables explicatives. Cette problématique est en pratique traitée comme une question de scoring. Le scoring consiste en la définition de fonction, appelées fonctions de score, qui retransmettent l'information contenue dans l'ensemble des variables explicatives dans une note de score réelle. L'objectif d'une telle fonction sera de donner sur les individus le même ordonnancement que la probabilité a posteriori du modèle, de manière à ce que les individus ayant une forte probabilité d'être "bons" aient une note élevée, et inversement que les individus ayant une forte probabilité d'être "mauvais" (et donc un risque fort pour la banque) aient une note faible. Des critères de performance tels que la courbe ROC et l'AUC ont été définis, permettant de quantifier à quel point l'ordonnancement produit par la fonction de score est pertinent. La méthode de référence pour obtenir des fonctions de score est la régression logistique, que nous présentons ici. Une problématique majeure dans le scoring pour le risque de crédit est celle de la sélection de variables. En effet, les banques disposent de larges bases de données recensant toutes les informations dont elles disposent sur leurs clients, aussi bien sociodémographiques que comportementales, et toutes ne permettent pas d'expliquer le critère de risque. Afin d'aborder ce sujet, nous avons choisi de considérer la technique du Lasso, reposant sur l'application d'une contrainte sur les coefficients, de manière à fixer les valeurs des coefficients les moins significatifs à zéro. Nous avons envisagé cette méthode dans le cadre des régressions linéaires et logistiques, ainsi qu'une extension appelée Group Lasso, permettant de considérer les variables explicatives par groupes. Nous avons ensuite considéré le cas où la variable réponse n'est plus binaire, mais polytomique, c'est-à-dire avec plusieurs niveaux de réponse possibles. La première étape a été de présenter une définition du scoring équivalente à celle présentée précédemment dans le cas binaire. Nous avons ensuite présenté différentes méthodes de régression adaptées à ce nouveau cas d'étude : une généralisation de la régression logistique binaire, des méthodes semi-paramétriques, ainsi qu'une application à la régression logistique polytomique du principe du Lasso. Enfin, le dernier chapitre est consacré à l'application de certaines des méthodes évoquées dans le manuscrit sur des jeux de données réelles, permettant de les confronter aux besoins réels de l'entreprise.
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/ 31-08-2016
Girand Arnaud
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Une déformation isomonodromique d'une sphère épointée est une famille de connexions logarithmiques plates sur cette dernière ayant toutes, à conjugaison globale près, la même représentation de monodromie. Ces objets sont paramétrés par les solutions d'une certaine famille d'équations aux dérivées partielles, les systèmes de Garnier, qui sont équivalents dans le cas de la sphère à quatre trous aux équations de Painlevé VI. L'objet des travaux présentés ici est de construire de nouvelles solutions algébriques des ces systèmes dans le cas de la sphère à cinq trous. Dans une première partie, nous classifions les déformations isomonodromiques algébriques obtenues par restriction aux droites d'une connexion logarithmique plate sur le plan projectif complexe dont le lieu polaire est une courbe quintique. On obtient ainsi deux nouvelles familles de solutions algébriques du système de Garnier associé. Dans une deuxième partie, nous exploitons le fait qu'une déformation isomonodromique algébrique correspond à une orbite finie sous l'action du groupe modulaire sur la variété des caractères de la sphère à cinq trous pour obtenir de nouveaux exemples de telles orbites. Nous employons pour ce faire la convolution intermédiaire sur les représentations de groupes libres développée par Katz Enfin, nous décrivons une généralisation partielle de ce procédé au cas d'un tore complexe à deux trous.
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